Cursos/Bachillerato Secundaria/4º año/Unidad 6

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Índice General[editar]

1. Prologo 1 1.1. Introducción 1.2. Descripción de la organización del texto 1.3. Convenios

2. LOS NÚMEROS REALES

2.1. Introducción
2.2. Los Números Reales
2.3. Nociones Métricas
2.4. La Completiud
2.5. Aproximaciones Racionales
2.6. Los Reales Extendidos
2.7. Ejercicios del Capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3. LOS ESPACIOS NORMADOS 3.1. Los Espacios Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2. Los Espacios Euclídeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3. Normas y Distancias No–Euclidianas en Rn . . . . . . . . . . . . 40 3.4. Los Espacios de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.5. Los valores absolutos p–ádicos en Q . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.6. Ejercicios del capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4. LOS ESPACIOS MÉTRICOS

4.1. Introducción
4.2. Las Definiciones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3. Las Funciones Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4. Bolas Abiertas Cerradas y Esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.5. Productos de Espacios Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6. Algunas Nociones Métricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.7. Los Reales Extendidos, R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.8. Espacios Ultramétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.9. Ejercicios del Capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5. LOS CONJUNTOS ABIERTOS Y CERRADOS

5.1. Introducción
5.2. Los Conjuntos Abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3. Los Conjuntos Cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4. Interior, Exterior, Clausura y Frontera . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.5. Ejercicios del capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6. LA CONTINUIDAD 99 6.1. Introducción 6 de noviembre de 2016 . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.2. Definiciones de Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.3. Propiedades Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.4. La Continuidad Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.5. Las Funciones Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.6. Los Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7. LAS SUCESIONES 123 7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.2. Definiciones y Propiedades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.3. Las Sucesiones Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 7.4. Las Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.5. La Completitud de los Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.6. Espacios de Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 7.7. Completación de un Espacio Métrico . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.8. Ejercicios del Capítulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8. LOS ESPACIOS TOPOLÓGICOS 143 8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 8.2. Las Definiciones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 8.3. Las Funciones Continuas y los Homeomorfismos . . . . . . . . . 150 8.4. Topologías de un Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 8.5. Métricas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 8.6. Ejercicios del capítulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 ÍNDICE GENERAL 5 9. LOS ESPACIOS PRODUCTOS Y COCIENTES 167 9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9.2. Los Espacios Productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9.3. El Espacio Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 9.4. Los Espacios Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 9.5. Ejercicios del capítulo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 10. LOS ESPACIOS CONEXOS 189 10.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 10.2. Las Definiciones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.3. Subespacios Conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 10.4. Las Componentes Conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 10.5. Caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 10.6. La Conexión por Caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 10.7. Ejercicios del Capitulo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 11. LOS ESPACIOS COMPACTOS 211 11.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 11.2. Cubiertas, subcubiertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 11.3. Los Espacios Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 11.4. La Línea Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 11.5. La Compacidad en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 11.6. La Compacidad en los Espacios Métricos . . . . . . . . . . . . . 231 11.7. La Continuidad Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 11.8. La Compacidad en Espacios Topológicos . . . . . . . . . . . . . 237 11.9. Ejercicios del Capítulo 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 12. LAS PROPIEDADES DE SEPARACIÓN 239 12.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 12.2. Definiciones y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 12.3. Los Espacios Regulares y Normales . . . . . . . . . . . . . . . . 243 12.4. Ejercicios del Capítulo 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 13. LA TOPOLOGÍA DE LAS MATRICES 249 13.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 13.2. El Espacio Métrico de las Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 13.3. Las Matrices y las Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . . 253 6 ÍNDICE GENERAL 14. LOS GRUPOS TOPOLÓGICOS 259 14.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 14.2. Los Subgrupos Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 14.3. Los Homomorfismos Continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 14.4. Conjuntos Cocientes, Espacios Homogéneos . . . . . . . . . . . . 266 14.5. Subgrupos, Cocientes y Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . 268 14.6. Subgrupos, Cocientes y Conexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 14.7. Ejercicios del Capítulo 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 15. LOS GRUPOS MATRICIALES 273 15.1. Los Grupos Matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 15.2. El Grupo de las Isometrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 15.3. El Grupo Afín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 15.4. Los Grupos Ortogonales y Las Esferas . . . . . . . . . . . . . . . 283 15.5. Ejercicios del Capítulo 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 15.6. Ejercicios 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 A. ALGUNAS NOCIONES DE CONJUNTOS 287 A.1. Las Operaciones on Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 A.2. El Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 A.3. Los Conjuntos Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 B. LAS FUNCIONES 291 B.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 B.2. La Composición de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 B.3. La Función Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 B.4. Funciones y Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 B.5. Familias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 B.6. Descomposición Canónica de una función . . . . . . . . . . . . . 297 B.7. Cardinalidad de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 C. ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS REALES 299 C.1. Expansión d–aria de un número real . . . . . . . . . . . . . . . . 299 D. NOCIONES DE GRUPOS 301 D.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

D.2. Los Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 D.3. Los Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 ÍNDICE GENERAL 7 D.4. Homomorfismo de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 D.5. Conjunto Cociente y Grupo Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . 307 D.6. Ejercicios D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308