Manual del estudiante de Ingeniería en Sistemas de UTN/Teoría de Control/Práctica de transformada de Laplace/Solución al ejercicio 4 de la guía de Transformada de Laplace

${\mathcal {L}}[x'']=s^{2}X(s)-sx(t_{0})-x'(t_{0})=s^{2}X(s)-s-1$

${\mathcal {L}}[x']=sX(s)-x(t_{0})=sX(s)-1$

Reemplazando en la ecuación

${\mathcal {L}}[x''+4x'+3x]={\mathcal {L}}[e^{-t}]$

$s^{2}X(s)-s-1+4sX(s)-4+3X(s)={\frac {1}{s+1}}$

$X(s)(s^{2}+4s+3)-s-5={\frac {1}{s+1}}$

$X(s)(s^{2}+4s+3)={\frac {1+(s+5)(s+1)}{s+1}}$

$X(s)={\frac {1+(s+5)(s+1)}{(s+1)(s^{2}+4s+3)}}$

$X(s)={\frac {1+(s+5)(s+1)}{(s+1)(s+1)(s+3)}}$

$X(s)={\frac {1+(s+5)(s+1)}{(s+1)^{2}(s+3)}}={\frac {A_{2}}{(s+1)^{2}}}+{\frac {A_{1}}{s+1}}+{\frac {B}{s+3}}$

Los valores de $A_{2}$ y de $B$ se pueden obtener directamente:

$A_{2}=\left[{\frac {1+(s+5)(s+1)}{s+3}}\right]_{s=-1}={\frac {1}{2}}$

$B=\left[{\frac {1+(s+5)(s+1)}{(s+1)^{2}}}\right]_{s=-3}=-{\frac {3}{4}}$

Para obtener el valor de $A_{1}$ pueden utilizarse estos valores obtenidos y resolver el sistema, o puede utilizarse la derivada:

$A_{1}={\frac {d}{ds}}\left[{\frac {1+(s+5)(s+1)}{s+3}}\right]_{s=-1}=\left[1+{\frac {3}{(s+3)^{2}}}\right]_{s=-1}={\frac {7}{4}}$

$X(s)={\frac {\frac {1}{2}}{(s+1)^{2}}}+{\frac {\frac {7}{4}}{s+1}}+{\frac {\frac {3}{4}}{s+3}}$

${\mathcal {L}}^{-1}[X(s)]=x(t)={\frac {1}{2}}te^{-t}+{\frac {7}{4}}e^{t}-{\frac {3}{4}}e^{-3t}$