Manual del estudiante de Ingeniería en Sistemas de UTN/Álgebra y Geometría Analítica/Determinantes

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Definición[editar]

Sea la matriz

su determinante está definido como

Para todas la permutaciones , donde el signo será positivo si la permutación es par[1], y negativo si es impar.

Métodos de cálculo[editar]

Determinantes de orden 1[editar]

Una matriz de orden 1 no es más que un número. Por ejemplo, la matriz (4) es una matriz de orden 1, pues tiene 1 fila y 1 columna. Así, las matrices de orden uno son de la forma . El determinante de dicha matriz es . Así, por ejemplo, det(4)=4.

Determinantes de orden 2[editar]

Como se ha dicho antes, un determinante de orden dos se calcula de la siguiente manera:

Determinante 2.png

Determinantes de orden 3[editar]

Un determinante de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus:

Determinante 3 por Sarrus.png

Determinantes de orden superior a 3[editar]

Suele desarrollarse el determinante de orden n a partir de una fila o columna, eliminando así filas y columnas hasta obtener un determinante de orden n-1. Para ello se toma una fila o columna cualquiera, multiplicando cada elemento por su adjunto (es decir, el determinante de la matriz que se obtiene eliminando la fila y columna correspondiente a dicho elemento, multiplicado por (-1)i+j donde i es el número de fila y j el número de columna. Para el primer elemento, se eleva al cuadrado, por lo que (-1)2 = 1. El segundo se eleva al cubo, (-1)3 = -1. Se observa que los signos iran alternando de un elemento al siguiente). Luego, se suman todos los productos, y se obtiene el determinante. En caso de un determinante de orden 4, se obtienen directamente determinantes de orden 3 que podrán ser calculados por la regla de Sarrus. En cambio, en los determinantes de orden superior, como por ejemplo n = 5, al desarrollar los elementos de una línea, obtendremos determinantes de orden 4, que a su vez se deberán desarrollar en por el mismo metodo, para obtener determinantes de orden 3.

La cantidad de operaciones aumenta muy rapidamente. En el peor de los casos (sin obtener ceros en filas y columnas), para un determinante de orden 4 se deberan desarrollar 4 determinates de orden 3. En un determinante de orden 5, se obtienen 5 determinates de orden 4 a desarrollar, dándonos 20 determinates de orden 3. El número de determinates de orden 3 que se obtienen en el desarrollo de un determinante de orden n es igual a

Por ejemplo, mediante este método, para un determinante de orden 10 se deberán calcular 10 x 9 x 8 x 8 x 6 x 5 x 4 = ¡604.800 determinantes de orden 3!.

También se pueden aplicar operaciones elementales entre filas y columnas para lograr la mayor cantidad de ceros en una fila o columna. De esta manera se reduce notablemente la cantidad de calculos. Por ejemplo, para obtener con el método especificado un determinante de orden 4, se deben calcular 4 determinantes de orden 3. En cambio, si previamente se logran tres ceros en una fila o columna, bastara con calcular solo un determinante de orden 3 (ya que los demas determinantes estarán multiplicados por 0, lo que los anula). También puede utilizarse el Metodo de eliminacion Gaussiana, para convertir la matriz en una matriz triangular. Si bien el proceso puede parecer tedioso, estará muy lejos de los 14.529.715.200 de determinantes de orden 3 necesarios para calcular el determinante de una matriz de orden 14.

Es también conveniente antes de realizar cualquiera de esas operaciones, observar atentamente el determinante y verificar que no existen casos especiales, como una combinacion lineal, de lo que se deduciría al instante que el determinante es cero, o en el caso de una matriz triangular, donde el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.



^  Una inversión en una permutación, significa que un número mayor aparece antes que uno menor. Si el número de inversiones de una permutación es par, la permutación será par, de lo contrario será impar.