Matemáticas/Geometría/Ángulos/Relaciones entre Ángulos

En función de su posición

Ángulos adyacentes

los que tienen un vértice y un lado común, y semirrectas opuestas, pero no tienen ningún punto interior común, y suman 180°.

Ángulos adyacentes.

Ángulos adyacentes son aquellos ángulos que tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que sus otros dos lados son semirrectas opuestas. De allí resulta que los ángulos adyacentes son a la vez consecutivos y suplementarios, porque juntos equivalen a un ángulo llano (180°), sin poseer ningún punto interior en común.

Ángulos consecutivos

Tienen un lado y el vértice común.

Ángulos consecutivos.

Ángulos opuestos

Aquellos por el vértice y cuyos lados son semirrectas opuestas.

En geometría euclidiana dadas dos rectas r y s, del plano, que se cortan en el punto P, dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro ángulo.

En la figura los ángulos a, c y b, d son opuestos por el vértice. Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

En función de su amplitud

Ángulos congruentes

aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo.

Los ángulos opuestos son congruentes debido a que una rotación de 180° sobre su vértice hace coincidir uno y el otro.

• 
  Los ángulos $\alpha$ y $\beta$ son congruentes y opuestos por el vértice.
• 
  Una recta que corta dos paralelas generan ángulos congruentes.
• 
  Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes.

Ángulos complementarios

aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90°.

Los ángulos α y β son complementarios.

Los ángulos complementarios son aquellos ángulos cuyas medidas suman 90° (grados sexagesimales). Si dos ángulos complementarios son consecutivos, los lados no comunes de los dos forman un ángulo recto.

Así, para obtener el ángulo complementario de α, teniendo α una amplitud de 70°, se restará α de 90°:

β = 90° – 70º = 20º

el ángulo β (beta) es el complementario de α (alfa)

Sabiendo esto, dichos ángulos formarán siempre un triángulo rectángulo puesto que los ángulos en un triángulo rectángulo son uno de 90º y los otros dos deben sumar 90 (180º(grados totales de un triángulo)-90º=90º). Por tanto, el seno de α es igual al coseno de β y el seno de β igual al coseno de α puesto que pertenecen al mismo triángulo rectángulo.

La diagonal de un rectángulo también configura ángulos complementarios(90°) con los lados adyacentes.

Ángulos suplementarios

aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180°.

Ángulos suplementarios.

Dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ son ángulos suplementarios, si suman 180° (grados sexagesimales).

• Un ángulo es o tiene suplementario si es menor que 180º.

• El valor de 180º es el mismo que dos ángulos rectos, $\pi$ rad o $200^{g}$ grados centesimales.

Método de obtención

Aritmético

Para obtener el ángulo suplementario $\beta$ de un determinado ángulo $\alpha$, se restará $\alpha$ a 180°, de manera que:

$\beta =180^{0}-\alpha$

Propiedades

• Si dos ángulos son suplementarios de otros dos ángulos congruentes, también son congruentes entre sí.
• Los senos de los ángulos suplementarios son los mismos, por ejemplo:

$\sin \alpha =\sin(180^{\circ }-\alpha )$

$\sin \alpha =\sin(\pi -\alpha )$

$\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }$

• Los cosenos de los ángulos suplementarios son de igual valor absoluto, pero de signo inverso, como muestran los siguientes ejemplos:

$\cos \alpha =-\cos(180^{\circ }-\alpha )$

$\cos \alpha =-\cos(\pi -\alpha )$

$\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }$

Ángulos conjugados

aquellos cuyas medidas suman 2π radianes o 360°.

Dos ángulos conjugados con vértices coincidentes, tendrán sus lados comunes.

Así, para obtener el ángulo conjugado de α que tiene una amplitud de 250°, se restará α de 360°:

β = 360° – 250º = 110º

el ángulo β (beta) es el conjugado de α (alfa).

• 360 grados sexagesimales equivalen a 2π radianes, o 400 grados centesimales.

Cuando dos rectas son cortadas por una tercera en distindo punto:

RectaQueCorta

Ángulos alternos

ángulos dispuestos a distinto lado de una recta que corta otras dos pero que no comparten lado.

$\alpha$ o $\gamma$ es alterno a $\beta '$ o a $\delta '$

$\beta$ o $\delta$ es alterno a $\alpha '$ o a $\gamma \,'$

y viceversa.

Ángulo alternos internos

ángulos comprendidos entre dos rectas pero situados a distinto lado de la recta cortante.

$\gamma$ es alterno interno a $\beta '$

$\delta$ es alterno interno a $\alpha '$

Ángulo alternos externos

ángulos no comprendidos entre dos rectas pero situados a distinto lado de la recta que corta.

$\alpha$ es alterno externo a $\delta '$

$\beta$ es alterno externo a $\gamma \,'$

Ángulos correspondientes

formados por dos paralelas y una transversal. Se encuentran en el mismo semiplano con respecto a la transversal y uno pertenece a la región interior y otro a la región exterior. Son congruentes.