Matemáticas/Historia/Números Inconmensurables

Definiciones Básicas

Una estructura algebraica es un lista o sucesión finita $<E,*_{1},*_{2},...>$ donde $E$ es un conjunto (conjunto base de la estructura) y $*_{1},*_{2},...,>$ son operaciones en $E$.

El tipo de la estructura queda determinado por las operaciones y sus propiedades.

Una subestructura de una estructura es una estructura cuyo conjunto base es un subconjunto del conjunto de la estructura y que respecto a las operaciones restringidas al subconjunto determinan una estructura del mismo tipo.

Estructuras con Operaciones Externas

Una operación externa en un conjunto $E$ es uan función de la forma $A\times E\rightarrow E$; es decir la asociación a un elemento de $A$ y un elemento de $E$ de un nuevo elento de $E$.

• Módulo es un grupo abeliano $<M,+>$ con operación escrita como suma y una operación externa proveniente de un anillo $A$, $(a,x)\rightarrow ax$ (multiplicación por escalr ) tal que para todo $a,b\in A$ y $x,y\in M$ se cumple que

${\begin{array}{rcl}(a+b)x&=&ax+bx\\(ab)x&=&a(bx)\\1x&=&x\\a(x+y)&=&ax+ay.\end{array}}$

Los elementos de $A$ son los escalares.

• Un Espacio Vectorial es un modulo cuyo anillo es un cuerpo.
• Una Álgebra es un módulo provisto de multiplicación distributiva sobfre la suma del módulo y compatible con la multiplicación por escalares.

Ejemplos.

1. Los vectores de los cursos de Cálculo multidimensional y los espacio vectorailes del älgebra Lineal son espacios vectoriales con escalares los números reales.

1. Las matrices y los polinomios forman álgebras con escalafres los Reales.

Semigrupos y Lenguajes

Una situación ingeresante aparece en la tgeorái de los lenguajes de programación.

Necesitaremos unas definiciones previas.

• Alfabeto es un conjunto finito $\Sigma$.
• Palabra sobre el alfabeto $\Sigma$ es una concagtenación de símbolos (escribir uno detrás del otro).
• $\mathbf {\Sigma } ^{+}$ el conjunto formado por todas las palabaras posibles con elementos del alfabeto $\Sigma$.
• $\mathbf {\Sigma } ^{*}$ (sigma star) es $\Sigma *$ con la palabra vacía (sin legtras) $\epsilon$ agregada.

Ejemplo.

Sea $\Sigma =\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.

Las palabras de $\Sigma$ son los números decimales enteros: 123, 0456, etc.