Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Historia/Números Inconmensurables»
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Una '''subestructura''' de una estructura es una estructura cuyo conjunto base es un subconjunto del conjunto de la estructura y que respecto a las operaciones restringidas al subconjunto determinan una estructura del mismo tipo. |
Una '''subestructura''' de una estructura es una estructura cuyo conjunto base es un subconjunto del conjunto de la estructura y que respecto a las operaciones restringidas al subconjunto determinan una estructura del mismo tipo. |
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== Tipos de Estructuras == |
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Las estructuras se clasifica por la cantidad de las operaciones y las propiedades supuestas. |
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=== Estructuras con una Operación === |
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La estructura <math><E, *> </math> conm una operación cualquiera se llama '''magma'''. |
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* Un '''semigrup'''o es un magma con operación asociativa. |
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* Un '''monoide''' es un semigrupo con neutro. |
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* Un '''grupo''' es un semigrupo cuyos elementos son todos invertibles respecto a la operación. |
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Un magma (resp. semigrupo, monoide, grupo) es conmutativo (o abeliano) cuando la operación es conmutativa. |
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Subestructuras posibles serán: submagamas, subsemigrupos, etc.,br /> |
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<font size =3> Ejemplos. </font> |
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# Los Enteros con la resta forman un magma. |
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# Los Naturales con la suma forman un semigrupo. |
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# Los Naturales con el 0 agregado, <math> {\mathbb N}_0</math>, forman un monoide. |
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# Los Enteros con la suma determina un grupo abeliano. |
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# Los Racionales, los Reales y los Complejos no nulos, con la multiplicación usual, determinan grupos abelianos. |
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=== Estructuras con dos Operaciones === |
=== Estructuras con dos Operaciones === |
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La estructura típica con dos operaciones es un '''anillo''' <math><A, + \cdot></math> tal que: <math><A,+></math> es un grupo abeliano, <math><A,\cdot></math> es un semigrupo, y la multiplicación es distributiva respecto a la suma. |
La estructura típica con dos operaciones es un '''anillo''' <math><A, + \cdot></math> tal que: <math><A,+></math> es un grupo abeliano, <math><A,\cdot></math> es un semigrupo, y la multiplicación es distributiva respecto a la suma. |
Revisión del 22:29 1 mar 2016
Estructuras Algebraicas
- El Álgebra Moderna o Abstracta se caracteriza por preocuparse de las operaciones y sus propiedades y no tanto de la naturaleza de los elementos donde esas operaciones actúan. Este capítulo es una breve introducción a la clasificación de los objetos de interés para nuestra Álgebra.
Definiciones más precisas aparecerán en los capítulosposteriores.
Definiciones Básicas
Una estructura algebraica es un lista o sucesión finita donde es un conjunto (conjunto base de la estructura) y son operaciones en .
El tipo de la estructura queda determinado por las operaciones y sus propiedades.
Una subestructura de una estructura es una estructura cuyo conjunto base es un subconjunto del conjunto de la estructura y que respecto a las operaciones restringidas al subconjunto determinan una estructura del mismo tipo.
Estructuras con dos Operaciones
La estructura típica con dos operaciones es un anillo tal que: es un grupo abeliano, es un semigrupo, y la multiplicación es distributiva respecto a la suma.
- Un anillo es 'cancelativo' cuando todos sus elementos no nulo son cancelables.
- Un 'cuerpo' es un anillo cuyo semigrupo multiplicativo es un cuerpo.
Ejemplos
- Los Enteros con la suma y la multiplicación determina un anillo.
- Los Racionales, los Reales y los Complejos, con la suma y multiplicación usuales, determinan cuerpos.
- Las matrices con entradas reales formam un anillo,
Estructuras con Operaciones Externas
Una operación externa en un conjunto es uan función de la forma ; es decir la asociación a un elemento de $A$ y un elemento de $E$ de un nuevo elento de .
- Módulo es un grupo abeliano con operación escrita como suma y una operación externa proveniente de un anillo , (multiplicación por escalr ) tal que para todo y se cumple que
Los elementos de son los escalares.
- Un Espacio Vectorial es un modulo cuyo anillo es un cuerpo.
- Una Álgebra es un módulo provisto de multiplicación distributiva sobfre la suma del módulo y compatible con la multiplicación por escalares.
Ejemplos.
- Los vectores de los cursos de Cálculo multidimensional y los espacio vectorailes del älgebra Lineal son espacios vectoriales con escalares los números reales.
- Las matrices y los polinomios forman álgebras con escalafres los Reales.
Semigrupos y Lenguajes
Una situación ingeresante aparece en la tgeorái de los lenguajes de programación.
Necesitaremos unas definiciones previas.
- Alfabeto es un conjunto finito .
- Palabra sobre el alfabeto es una concagtenación de símbolos (escribir uno detrás del otro).
- el conjunto formado por todas las palabaras posibles con elementos del alfabeto .
- (sigma star) es con la palabra vacía (sin legtras) agregada.
Ejemplo.
- Sea .
- Las palabras de son los números decimales enteros: 123, 0456, etc.
Proposición
con la concagtenación de palabras (escibir una al lado de la otra) es un semigrupo.
- es un monoide, la palabra vacía es el neutro de la operación.