Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Historia/Números Inconmensurables»

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Una '''subestructura''' de una estructura es una estructura cuyo conjunto base es un subconjunto del conjunto de la estructura y que respecto a las operaciones restringidas al subconjunto determinan una estructura del mismo tipo.
Una '''subestructura''' de una estructura es una estructura cuyo conjunto base es un subconjunto del conjunto de la estructura y que respecto a las operaciones restringidas al subconjunto determinan una estructura del mismo tipo.

== Tipos de Estructuras ==
Las estructuras se clasifica por la cantidad de las operaciones y las propiedades supuestas.

=== Estructuras con una Operación ===

La estructura <math><E, *> </math> conm una operación cualquiera se llama '''magma'''.
* Un '''semigrup'''o es un magma con operación asociativa.
* Un '''monoide''' es un semigrupo con neutro.
* Un '''grupo''' es un semigrupo cuyos elementos son todos invertibles respecto a la operación.
Un magma (resp. semigrupo, monoide, grupo) es conmutativo (o abeliano) cuando la operación es conmutativa.

Subestructuras posibles serán: submagamas, subsemigrupos, etc.,br />

<font size =3> Ejemplos. </font>
# Los Enteros con la resta forman un magma.
# Los Naturales con la suma forman un semigrupo.
# Los Naturales con el 0 agregado, <math> {\mathbb N}_0</math>, forman un monoide.
# Los Enteros con la suma determina un grupo abeliano.
# Los Racionales, los Reales y los Complejos no nulos, con la multiplicación usual, determinan grupos abelianos.
=== Estructuras con dos Operaciones ===
=== Estructuras con dos Operaciones ===
La estructura típica con dos operaciones es un '''anillo''' <math><A, + \cdot></math> tal que: <math><A,+></math> es un grupo abeliano, <math><A,\cdot></math> es un semigrupo, y la multiplicación es distributiva respecto a la suma.
La estructura típica con dos operaciones es un '''anillo''' <math><A, + \cdot></math> tal que: <math><A,+></math> es un grupo abeliano, <math><A,\cdot></math> es un semigrupo, y la multiplicación es distributiva respecto a la suma.

Revisión del 22:29 1 mar 2016

Estructuras Algebraicas

El Álgebra Moderna o Abstracta se caracteriza por preocuparse de las operaciones y sus propiedades y no tanto de la naturaleza de los elementos donde esas operaciones actúan. Este capítulo es una breve introducción a la clasificación de los objetos de interés para nuestra Álgebra.

Definiciones más precisas aparecerán en los capítulosposteriores.

Definiciones Básicas

Una estructura algebraica es un lista o sucesión finita donde es un conjunto (conjunto base de la estructura) y son operaciones en .

El tipo de la estructura queda determinado por las operaciones y sus propiedades.

Una subestructura de una estructura es una estructura cuyo conjunto base es un subconjunto del conjunto de la estructura y que respecto a las operaciones restringidas al subconjunto determinan una estructura del mismo tipo.

Estructuras con dos Operaciones

La estructura típica con dos operaciones es un anillo tal que: es un grupo abeliano, es un semigrupo, y la multiplicación es distributiva respecto a la suma.

Un anillo es 'cancelativo' cuando todos sus elementos no nulo son cancelables.
Un 'cuerpo' es un anillo cuyo semigrupo multiplicativo es un cuerpo.

Ejemplos

  1. Los Enteros con la suma y la multiplicación determina un anillo.
  2. Los Racionales, los Reales y los Complejos, con la suma y multiplicación usuales, determinan cuerpos.
  3. Las matrices con entradas reales formam un anillo,

Estructuras con Operaciones Externas

Una operación externa en un conjunto es uan función de la forma ; es decir la asociación a un elemento de $A$ y un elemento de $E$ de un nuevo elento de .

  • Módulo es un grupo abeliano con operación escrita como suma y una operación externa proveniente de un anillo , (multiplicación por escalr ) tal que para todo y se cumple que

Los elementos de son los escalares.

  • Un Espacio Vectorial es un modulo cuyo anillo es un cuerpo.
  • Una Álgebra es un módulo provisto de multiplicación distributiva sobfre la suma del módulo y compatible con la multiplicación por escalares.

Ejemplos.

  1. Los vectores de los cursos de Cálculo multidimensional y los espacio vectorailes del älgebra Lineal son espacios vectoriales con escalares los números reales.
  1. Las matrices y los polinomios forman álgebras con escalafres los Reales.

Semigrupos y Lenguajes

Una situación ingeresante aparece en la tgeorái de los lenguajes de programación.

Necesitaremos unas definiciones previas.

  • Alfabeto es un conjunto finito .
  • Palabra sobre el alfabeto es una concagtenación de símbolos (escribir uno detrás del otro).
  • el conjunto formado por todas las palabaras posibles con elementos del alfabeto .
  • (sigma star) es con la palabra vacía (sin legtras) agregada.

Ejemplo.

Sea .
Las palabras de son los números decimales enteros: 123, 0456, etc.


Proposición

con la concagtenación de palabras (escibir una al lado de la otra) es un semigrupo.

es un monoide, la palabra vacía es el neutro de la operación.