Matemáticas/Historia/Números Inconmensurables

Estructuras Algebraicas

  El Álgebra Moderna o Abstracta se caracteriza por preocuparse de las operaciones y sus propiedades y no tanto de la naturaleza de los elementos donde esas operaciones  actúan.  Este capítulo es una breve introducción a la clasificación de los objetos de interés para nuestra Álgebra. 

Definiciones más precisas aparecerán en los capítulosposteriores.

Definiciones Básicas

Una estructura algebraica es un lista o sucesión finita $<E,*_{1},*_{2},...>$ donde $E$ es un conjunto (conjunto base de la estructura) y $*_{1},*_{2},...,>$ son operaciones en $E$.

El tipo de la estructura queda determinado por las operaciones y sus propiedades.

Una subestructura de una estructura es una estructura cuyo conjunto base es un subconjunto del conjunto de la estructura y que respecto a las operaciones restringidas al subconjunto determinan una estructura del mismo tipo.

Tipos de Estructuras

Las estructuras se clasifica por la cantidad de las operaciones y las propiedades supuestas.

Estructuras con una Operación

La estructura $<E,*>$ conm una operación cualquiera se llama magma.

• Un semigrupo es un magma con operación asociativa.
• Un monoide es un semigrupo con neutro.
• Un grupo es un semigrupo cuyos elementos son todos invertibles respecto a la operación.

Un magma (resp. semigrupo, monoide, grupo) es conmutativo (o abeliano) cuando la operación es conmutativa.

Subestructuras posibles serán: submagamas, subsemigrupos, etc.,br />

Ejemplos.

1. Los Enteros con la resta forman un magma.
2. Los Naturales con la suma forman un semigrupo.
3. Los Naturales con el 0 agregado, ${\mathbb {N} }_{0}$, forman un monoide.
4. Los Enteros con la suma determina un grupo abeliano.
5. Los Racionales, los Reales y los Complejos no nulos, con la multiplicación usual, determinan grupos abelianos.

Estructuras con dos Operaciones

La estructura típica con dos operaciones es un anillo $<A,+\cdot >$ tal que: $<A,+>$ es un grupo abeliano, $<A,\cdot >$ es un semigrupo, y la multiplicación es distributiva respecto a la suma.

Un anillo es 'cancelativo' cuando todos sus elementos no nulo son cancelables.

Un 'cuerpo' es un anillo cuyo semigrupo multiplicativo es un cuerpo.

Ejemplos

1. Los Enteros con la suma y la multiplicación determina un anillo.
2. Los Racionales, los Reales y los Complejos, con la suma y multiplicación usuales, determinan cuerpos.
3. Las matrices $2\times 2$ con entradas reales formam un anillo,

Estructuras con Operaciones Externas

Una operación externa en un conjunto $E$ es uan función de la forma $A\times E\rightarrow E$; es decir la asociación a un elemento de $A$ y un elemento de $E$ de un nuevo elento de $E$.

• Módulo es un grupo abeliano $<M,+>$ con operación escrita como suma y una operación externa proveniente de un anillo $A$, $(a,x)\rightarrow ax$ (multiplicación por escalr ) tal que para todo $a,b\in A$ y $x,y\in M$ se cumple que

${\begin{array}{rcl}(a+b)x&=&ax+bx\\(ab)x&=&a(bx)\\1x&=&x\\a(x+y)&=&ax+ay.\end{array}}$

Los elementos de $A$ son los escalares.

• Un Espacio Vectorial es un modulo cuyo anillo es un cuerpo.
• Una Álgebra es un módulo provisto de multiplicación distributiva sobfre la suma del módulo y compatible con la multiplicación por escalares.

Ejemplos.

1. Los vectores de los cursos de Cálculo multidimensional y los espacio vectorailes del älgebra Lineal son espacios vectoriales con escalares los números reales.

1. Las matrices y los polinomios forman álgebras con escalafres los Reales.