Conjuntos numéricos/Axiomática de la Teoría de Conjuntos/Esquema Axiomático de Sustitución

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El Esquema Axiomático de Sustitución dice lo siguiente: sea una propiedad relativa a pares de conjuntos, de manera que si los pares de conjuntos y verifican , entonces . Para todo conjunto existe un conjunto de manera que si y solamente si existe un tal que verifique .

Consecuencias[editar]

Imagen de una aplicación[editar]

Sean y dos conjuntos, y . Podemos considerar la propiedad sobre pares de conjuntos de forma que verifica si y solamente si (es decir, si ). El Esquema Axiomático de Sustitución nos asegura que existirá un conjunto formado por los conjuntos tal que existe un de forma que . Como y , entonces es , luego . Tenemos entonces el conjunto , que se denomina imagen de mediante . En particular, tendremos el conjunto , imagen de la aplicación .

Aplicaciones sobreyectivas y biyectivas[editar]

Sean y dos conjuntos, y . Se dice que es:

  • sobreyectiva si ;
  • biyectiva si existe de manera que si entonces y si entonces . A la aplicación se la denomina aplicación inversa de , y se suele denotar por . De esta manera, podemos decir que es biyectiva si existe .

Una aplicación es biyectiva si y solamente si es inyectiva y sobreyectiva.