Apuntes matemáticos/Primero Administración/Texto completo

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Apuntes de Primero Administración[editar]

Unidad: Geometría.[editar]

Temas:

  • Trigonometría.
  • Figuras y sólidos.
  • Distancia, Áreas y volúmenes.
  • Aplicaciones.

Competencias Específicas:

  • Enunciar y aplicar en la resolución de problemas los teoremas del seno y del coseno.
  • Reconocer las diferentes figuras geométricas: Triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares.
  • Calcular distancias: alturas, diagonales, perímetros.
  • Calcular volúmenes de cubos, prismas, pirámides, conos, cilindros y esferas.
  • Reconocer en un poliedro aristas paralelas, que se cruzan o secantes.
  • Reconocer en un poliedro caras paralelas u ortogonales.
  • Calcular distancias en poliedros: diagonales, alturas, aristas, etc.
  • Reconocer los diferentes sólidos.
  • Describir los poliedros regulares.
  • Aplicar los cálculos involucrados en esta unidad a situaciones reales.


En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Cotas, extremos, máximos y mínimos de conjuntos de números reales. (no)
    • Identificar y determinar cotas, extremos, máximo y mínimo de un conjunto de números reales. (no)
  • Intervalos.(no)
    • Definir intervalos abiertos, cerrados, acotados y no acotados.(no)
    • Representación de intervalos.(no)



Enlaces[editar]

para estudiar estos temas te indico los siguientes enlaces:

Unidad 2: Conjuntos numéricos.[editar]

Contenidos.

  • Revisión de los conjuntos numéricos: naturales, enteros y racionales.
  • Existencia de números irracionales.
  • Noción de estructura de los números reales: propiedades de Cuerpo y de Orden.
  • Potenciación. Definición. Propiedades. Notación científica.
  • Operaciones con expresiones algebraicas.

Competencias específicas:

  • Reconocer un número real.
  • Conocer si un número real es entero, fraccionario o irracional.
  • Operar con números fraccionarios.
  • Representar los números reales en un eje orientado.
  • Conocer las propiedades de la suma y el producto de los números reales.
  • Conocer las propiedades de Orden de los números reales.
  • Aproximar un número real por un decimal.
  • Dominar las potencias de exponentes naturales, enteros y racionales.
  • Conocer y aplicar las propiedades de las potencias.
  • Aproximar un número real por el producto de un decimal por una potencia de base 10.
  • Conocer la radicación y sus propiedades.
  • Operar con expresiones algebraicas entera: suma, resta, multiplicación.
  • Saber operar con productos notables.
  • Realizar el desarrollo del cuadrado de un binomio.
  • Reconocer si un trinomio es el cuadrado de un binomio.
  • Estudiar la existencia de expresiones racionales.
  • Operar con expresiones algebraicas racionales.

Unidad 3: Las funciones y sus gráficos[editar]

Contenidos:

  • Concepto de función.
  • Función inyectiva, sobreyectiva, biyectiva.
  • Representación gráfica. Uso de escalas en ambos ejes coordenados.
  • Propiedades: variación, extremos relativos y absolutos, simetrías (paridad e imparidad), periodicidad.
  • Noción intuitiva de límite y continuidad vinculados al gráfico.
  • Lectura de un gráfico: extracción de datos referidos al comportamiento de la función a partir de su gráfico. Uso de escalas.
  • Función inversa y su gráfico.
  • Aplicaciones.

Competencias específicas:

  • Definir función, dominio, codominio, variables independiente y dependiente.
  • Identificar si una relación dada mediante una tabla, diagrama o gráfica es una función.
  • Identificar las variables independiente y dependiente en una función.
  • Reconocer a partir de la gráfica si una función es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.
  • Realizar la gráfica de una función mediante una tabla dada, u obtenida a partir de una fórmula.
  • Conocer el concepto de función creciente o decreciente.
  • Reconocer máximo o mínimo absolutos y relativos de una función.
  • Comparar extremos absolutos y relativos.
  • Reconocer gráficamente una función discreta.
  • Reconocer gráficamente una función continua.
  • Reconocer la paridad o imparidad de una función a partir de su gráfico.
  • Conocer sobre el gráfico de una función, el concepto de límite en un punto y en el infinito.
  • Definir función periódica y reconocer gráficamente su período.
  • Hallar la inversa de una función.
  • Identificar si dos funciones son inversas.
  • Reconocer que escalas se han utilizado en la representación gráfica de una función.
  • Leer el gráfico de una función, extrayendo datos del problema representado.
  • Reconocer la importancia que posee la representación gráfica en la evolución de un fenómeno.
  • Reconocer la importancia del uso del lenguaje simbólico para describir situaciones en apariencia muy distinta, que responden a un mismo modelo matemático.
  • Conocer que los fenómenos reales pueden responder a funciones de más de una variable.
  • identificar curvas de nivel en situaciones reales: mapas orográficos, oceanográficos, curvas equipotenciales, isotermas, isobaras.

Sea K un cuerpo. Una ecuación lineal con coeficientes en K es una expresión de la forma:



donde son elementos de K para todo y se llaman coeficientes; el término es de nuevo un elemento de K y se le llama término independiente y, por último, son símbolos que llamaremos incógnitas. Para un número pequeño de incógnitas, usaremos la notación x, y, z, t... Es remarcable el hecho de que, al tratarse de una ecuación lineal, no pueden existir términos de incógnitas al cuadrado.

Sistemas de ecuaciones lineales[editar]

Un conjunto de m escuaciones lineales con las mismas incógnitas:



se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Llamaremos soluciones del sistema a cada conjunto de valores asignados a las incógnitas que son solución de todas las ecuaciones del sistema. Se llama solución general del sistema al conjunto de todas las soluciones del sistema. Decimos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución general, es decir, si sus soluciones coinciden.

La clasificación de los sitemas de ecuaciones se hace en función de sus soluciones: si posee alguna solución, se llamará compatible; en caso contrario, se denomina incompatible. Además, los sistemas compatibles se dividen a su vez en: determinados, si la solución es única, e indeterminados en caso contrario. Se denomina discusión de un sistema al proceso de clasificación de un sistema dentro de los tipos anteriores. Decimos que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si los términos independientes son cero. Éste tipo de sistemas admiten una solución que se denomina trivial, , siendo por tanto compatible en cualquier caso.

Método de Gauss[editar]

El método de Gauss es un sistema -probablemente el más útil en dimensiones bajas- de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. La idea del método es conseguir, mediante un sistema dado, uno equivalente más sencillo, y aplicar el método iterativamente hasta obtener un sistema de solución obvia.

Proposición 1: Si en un sistema de ecuaciones lineales dado intercambiamos dos ecuaciones de lugar, multiplicamos una ecuación por un miembro del cuerpo K, o sumamos una ecuación a otra multiplicada por un elemento del cuerpo, obtenemos un sistema equivalente.

Demostración: es obvio que el primer predicado es cierto. El segundo lo podemos extraer de las propiedades de cuerpo de K, esto es, que si tenemos , con , entonces . Para el tercer predicado consideramos el sistema de ecuaciones lineales:


y lo que resulta de sumar h veces la i-ésima ecuación a la j-ésima:

UNIDAD 5: Función cuadrática[editar]

Contenidos:

  • Función cuadrática.
  • Ecuación de segundo grado.
  • Posiciones relativas de parábola / recta y parábola / parábola.
  • Inecuaciones.

Competencias específicas.

  • Resolver una ecuación de segundo grado incompleta sin aplicar la fórmula general.
  • Resolver una ecuación de segundo grado completa aplicando la fórmula general.
  • Identificar el número de soluciones de una ecuación de segundo grado a partir de su discriminante.
  • Factorizar un trinomio de segundo grado.
  • Estudiar el signo de la función cuadrática.
  • Representar gráficamente la función cuadrática, hallar los puntos de corte con los ejes y el vértice.
  • Hallar la expresión analítica de la función cuadrática a partir de su gráfico.
  • Analizar la familia de parábola y = ax2 para distintos valores de "a".
  • Hallar y representar gráficamente la función inversa de y = ax2.
  • Analizar la familia de parábolas y = ax2 + bx para distintos valores de "b" ("a" fijo).
  • Analizar la familia de parábolas y = ax2 + c para distintos valores de "c" ("a" fijo).
  • Comparar la variación de una función lineal con una cuadrática.
  • Determinar a partir de una tabla de valores correspondientes en una función, si los mismos corresponden a una función cuadrática del tipo y = ax2.
  • Resolver ecuaciones bicuadradas.
  • Operar con expresiones algebraicas con denominadores de segundo grado que implique su factorización para hallar denominador comùn.
  • Resolver un problema a través de una ecuación de segundo grado, elaborándola a partir del enunciado y comprobar la validez de su solución en el contexto del problema que la generó.
  • Resolver sistemas de ecuaciones del tipo:


  • Identificar los distintos tipos de soluciones del sistema anterior con las posiciones relativas de la parábola y de la recta que representan.
  • Resolver sistemas de ecuaciones del tipo


  • Identificar los distintos tipos de soluciones del sistema anterior con las posiciones relativas de la parábola y de la recta que representan.

Suma de Vectores[editar]

Sean los vectores:



Su suma vectorial será:


Para que la suma entre dos o más vectores sea posible, los vectores deben tener el mismo tamaño, y el vector resultante será la suma de componente a componente de cada vector.


  • Ejemplo en :





  • Ejemplo en :



Propiedades de la Suma entre Vectores[editar]

Para la suma entre vectores se utilizan varias propiedades algebraicas provenientes de la suma entre reales.

Sean U, V,W vectores en :


Propiedad Conmutativa.


Propiedad Asociativa.


Todo vector sumado con cero no se verá afectado y el resultado será el mismo vector.


Todo vector sumado con su opuesto da como resultado 0

Suma Grafica de Vectores[editar]

Para sumar gráficamente dos vectores o mas vectores existen dos métodos, el método del paralelogramo y el método del triangulo:

Método del Paralelogramo[editar]

Se representa los vectores(U,V) como puntos en el plano y en los cuales sus orígenes generalmente coincidan en el punto(0,0) del plano cartesiano; luego en el extremo o cabeza del vector U, se grafica una paralela al vector V y en el extremo del vector V se grafica una paralela del vector U. La diagonal del paralelogramo que se forma es el vector suma o la respuesta.

Suma de vectores.svg

Método Poligonal[editar]

Se pone gráficamente el vector A como continuación del vector B, es decir, el origen del vector B coincide con la cabeza o extremo final del vector A. Luego se traza una diagonal que une el inicio del vector "a" con el resto de los extremos.

Vector addition2.svg


Para sumar más de dos vectores gráficamente con cualquiera de los dos métodos, se realiza primero la suma de dos en dos de los vectores, el vector resultante se suma a un tercero o n vectores aplicando la ley conmutativa de la suma de vectores.

Resta de Vectores[editar]

Restar dos vectores es sumar al primero ,el resultado de la multiplicación por el escalar (-1) del segundo vector o más claramente su opuesto porque :



  • Ejemplo:


Resta Grafica de Vectores[editar]

Gráficamente, U - V es el vector que se forma donde su origen es el extremo de V y su extremo es el extremo de U Resta de vectores.JPG En la imagen se puede ver V + (U-V)= U

Bibliografía[editar]

1.LAY, David C. ÁLGEBRA LINEAL Y SUS APLICACIONES (Tercera Edición). Pearson Educación, México, 2007. ISBN 978-970-26-0906-3 2.George Nakos / David Joyner. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Thomson Editores,Buenos Aires,1999