Apuntes matemáticos/Álgebra/Texto completo

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Sumario

Diversos apuntos sobre temas Algebraicos[editar]

Introducción[editar]

Introducción[editar]

Para resolver ciertos problemas o explicarlos es necesario utilizar escrituras con operaciones que tienen a la vez números y letras (que representan números desconocidos o cantidades cambiantes).
A estas escrituras se les llama expresiones algebraicas y a las letras que en ella aparecen se les llama variables.
Ejemplo de expresiones algebraicas son las fórmulas para calcular áreas o volúmenes de figuras geométricas.

La sustitución de los números por letras permite generalizar la aritmética.
Existen dos tipos principales de igualdad; la identidad y la ecuación. Ambas tienen propiedades en común, aunque sus significados son diferentes.
Una identidad es una proposición de igualdad que es válida para todos los valores de las letras que aparecen en ella.
Una ecuación es una proposición de igualdad válida sólo para algunos valores de las letras que aparecen en ella.
Si importar si los números son decimales, enteros, fracciones, positivos o negativos; las operaciones que realizamos con ellos mantienen las mismas propiedades. Esta situación da origen al cálculo algebraico donde los números están representados genéricamente por letras.

A la adición, sustracción, multiplicación y división las hemos llamado operaciones racionales, porque son siempre realizables en el campo de los números racionales, los que se pueden representar con una fracción.
A estas cuatro operaciones, junto con la potencia (porque es una multiplicación abreviada) y con la extracción de raíces las llamamos operaciones algebraicas. Llamamos expresión algebraica al resultado de efectuar, con números fijos y números representados por letras, una cierta cantidad contable de operaciones algebraicas.
Una expresión algebraica es una combinación de números, variables y operaciones como la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Se llaman términos de una expresión algebraica las partes de ésta que se encuentran separadas por signos de + o de -.

Definiciones adjuntas[editar]

Términos semejantes son aquellos que difieren solamente en sus coeficientes numéricos.
Fijando valores numéricos determinados a las letras, si con ellos son posibles las operaciones indicadas, resultará un cierto número que se llama valor numérico de la expresión para los valores atribuidos a las letras.
La habilidad para manipular las expresiones algebraicas es un requisito para progresar satisfactoriamente en la aplicación del álgebra; esta habilidad sólo se puede adquirir por medio de la práctica.

Propiedades de las operaciones[editar]

La adición y la multiplicación poseen las propiedades conmutativa, asociativa y existencia de elemento neutro.

Funciones[editar]

Clasificación de funciones[editar]

Función[editar]

Llamamos función de A → B a toda relación desde A hacia B de manera que cada elemento del Dominio tiene una y solo una imagen en el Codominio.

Función Inyectiva[editar]

Cuando para todo elemento distinto del dominio corresponde distinta imágenes.

Función Sobreyectiva[editar]

Cuando su codominio es igual al conjunto imagen.

Función Biyectiva[editar]

Cuando es Inyectiva y Sobreyectiva a la vez.

Crecimiento en Funciones[editar]

Decimos que la función y = f(x) es estrictamente creciente en el punto a, siempre que exista un entorno del punto a (a-ε; a + ε) tal que para todos los elementos x del semientorno izquierdo a - ε < x < a los valores funcionales de f(x) son menores que f(a) y para todos los elementos x del semientorno derecho a < x < a + ε los valores funcionales de f(x) son mayores que f(a).

Extremos relativos[editar]

Máximo relativo[editar]

Decimos que el punto de coordenadas ( a, f(a)) es un máximo relativo cuando existe un entorno del punto a ( a - E; a + E ) tales que para los puntos que pertenecen al entorno reducido de centro a y radio E, los valores funcionales f(x) son menores que f(a)

Mínimo relativo[editar]

De forma análoga; decimos que el punto de coordenadas ( a, f(a)) es un mínimo relativo cuando existe un entorno del punto a ( a - E; a + E ) tales que para los puntos que pertenecen al entorno reducido de centro a y radio E, los valores funcionales f(x) son mayores que f(a)

Extremos absolutos[editar]

Cuando un máximo relativo, es máximo para todo el conjunto de los reales, es decir no existe ningún otro valor de x de todo el dominio que su imagen f(x) supere al valor de f(a), entonces se llama máximo absoluto. Razonando de forma similar definimos el mínimo absoluto.

Límites[editar]

Sucesión[editar]

Se llama sucesión a un conjunto infinito de números, dados ordenadamente, de modo que hay un primero, un segundo, un tercero, etc, es decir, de modo que se correspondan con los números naturales.

Términos[editar]

Los elementos de la sucesión se llaman términos y se suelen designar mediante letras, con los subíndices correspondientes a los lugares que ocupa en la sucesión: a1, a2, a3 El término que representa un lugar cualquiera se llama término general y se designa por an. En la mayoría de los casos, disponenmos de recursos para expresar el término general mediante una fórmula sn = f(n).

Sucesiones especiales[editar]

Progresión aritmética: cuando cada uno de los términos se obtiene del anterior sumándole un número, llamado diferencia. Progresión geométrica: cuando cada uno de los términos se obtiene del anterior multiplicándolo por un número, llamado razón.

Productos notables[editar]

Se le recuerda que esta pagina fue elaborada por niños esclavizados de Taiwan. Y Zeus...

Términos semejantes de polinomios[editar]

Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal. Por ejemplo: –2a2b y 5a2b son semejantes.
Los términos semejantes se pueden sumar (o restar) sumando o restando los coeficientes y conservando la parte literal.
Por ejemplo:

–2a2b + 5a2b = 3a2b

10x2z3 – 22x2z3 = – 12x2z3

Si los términos no son semejantes, no se pueden sumar o restar:

La operación 12a2b + 13ab2 no se puede reducir más, debido a que los términos no son semejantes.


Eliminación de Paréntesis[editar]

Para eliminar paréntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientes reglas:

(1) Si aparece un signo “+” delante de un paréntesis (o ningún signo), se elimina el paréntesis conservando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis.

(2) Si aparece un signo “-” delante de un paréntesis, se elimina el paréntesis cambiando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis.

Ejemplo:

2ab – (a + ab) + (3a – 4ab) =

Aplicando las reglas anteriores, tenemos:

2ab – a – ab + 3a - 4ab, reduciendo términos semejantes:

-3ab + 2a

Producto de expresiones algebraicas[editar]

Producto de monomios[editar]

Se multiplican los coeficientes entre sí, y para multiplicar potencias de igual base, ocupamos la propiedad: “para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes”.

Ejemplo: 2x2y3 z · 4x4y2 = 8x6y5z

Producto de monomio por polinomio[editar]

Se aplica la propiedad distributiva, esto es: “el monomio multiplica a todos los términos del polinomio”.

Ejemplo:

2ab (3a - ab2 + 4b2c2) = 2ab . 3a - 2ab . ab2 + 2ab . 4b2c2 = 6a2b – 2a2b3 + 8ab3c2

Producto de binomio por binomio[editar]

Se multiplican todos los términos del primer binomio con los términos del segundo binomio.

Ejemplo:

(2a - 3b2c) (4a2 + 5ab3) = 2a . 4a2 + 2a . 5ab3 – 3b2c . 4a2 – 3b2c . 5ab3 = 8a3 + 10 a2b3 – 12 a2b2c – 15 ab5c

Producto de polinomio por polinomio[editar]

Al igual que en el caso anterior, se multiplican todos los términos del primer polinomio con todos los términos del segundo.

(2x – 3y + 4z2). (5x + 2xy + 4xz2) = 2x . 5x + 2x . 2xy + 2x . 4xz2 – 3y . 5x – 3y . 2xy – 3y . 4xz2 + 4z2 . 5x + 4z2 . 2xy + 4z2 . 4xz2 = 10x2 + 4x2y + 8x2z2 – 15xy – 6xy2 – 12xyz2 + 20xz2 + 8xyz2 + 16xz4

Productos notables[editar]

Son productos que, dada la frecuencia con que aparecen, es necesario memorizarlos para poder realizarlos más rápidamente. Por lo tanto se simplifica en sus apuntes, mientras estudia para su examen de mañana, viej@ vago.

Suma por su diferencia:[editar]

(a + b) (a – b) = a2-b2

Cuadrado de binomio:[editar]

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 – 2ab + b2

Multiplicación de binomios con término común:[editar]

(x+a) (x+b) = x2 +(a+b)x + ab

binomio conjugado:[editar]

(a+b)= a2 + b2

Cubo de binomio:[editar]

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Puedes hallar un mapa conceptual acerca de los productos notables en:

Productos notables[editar]

Puedes estudiar la interpretación geométrica de los productos notables en los siguientes sitios: ( tema incompleto) (1/2a - 3)

Desarrollo productos notables[editar]

Factorización[editar]

Consiste en expresar adiciones y/o sustracciones en términos de multiplicaciones. Los casos de factorización que estudiaremos son los siguientes:

Factor común[editar]

Se aplica cuando todos los términos tienen un divisor común diferente de 1. Ejemplo:

15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3

Aquí el factor común es: 5xy2z2, por lo tanto, la expresión dada se puede colocar de la forma:

15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3 = 5xy2z2 (3xz – y + 2x3y2z), lo que corresponde a su factorización.

Diferencia de cuadrados[editar]

Toda diferencia se puede factorizar mediante el producto de la suma con la diferencia de las bases.

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

Ejemplo: 25a2 – 16b4

Esta expresión corresponde a la diferencia entre el cuadrado de 5a y el de 4b2 :

Por lo tanto: (5a)2 – (4b2)2 = (5a + 4b2) (5a — 4b2)

Factorización de trinomio cuadrático perfecto[editar]

Un trinomio cuadrático perfecto es aquel que corresponde al desarrollo de un cuadrado de binomio, por lo tanto, su factorización es:

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Ejemplo: 16x2 – 24xy + 9y2

En este trinomio hay dos términos que son cuadrados perfectos: 16x2 = (4x)2 y 9y2 = (3y)2, por lo tanto, el trinomio dado puede provenir del desarrollo del binomio:

(4x - 3y)2, si se desarrolla esta expresión se constata que efectivamente coincide con la expresión dada.

Factorización de trinomio cuadrático no perfecto[editar]

En este caso hay dos subcasos:

Caso en que el coeficiente cuadrático es 1

Utilizando el producto notable “producto de binomios con término común”:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Nos da la forma de poder factorizar una expresión del tipo: x2 + px + q

Ejemplo: x2 – 10x + 24

El trinomio se factoriza de la forma: (x + a)(x + b), donde a y b son números tales que a + b = –10 y ab = 24. Estos números son: –4 y –6, por lo tanto:

x2 – 10x + 24 = (x – 4)(x – 6)

Caso en que el coeficiente cuadrático es diferente de 1

Ejemplo: 2x2 + 7x – 15

Para poder factorizar trinomios de este tipo, multiplicaremos y dividiremos (para que la expresión no cambie) por el coeficiente del término cuadrático:


El numerador se puede factorizar de la forma (2x + a)(2x + b), donde a y b son números tales que a + b = 7 y ab = –30. Estos números son: 10 y -3:

Diferencia de cubos[editar]

a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

Ejemplo:

125z3 – 64y6

La expresión 125z3 es el cubo de 5z y 64y6 es el cubo de 4y2, por lo tanto:

125z3 – 64y6 = (5z)3 – (4y2)3

Ocupando que a = 5z y b = 4y2 en la expresión dada, tenemos que:

(5z)3 – (4y2)3 = (5z – 4y2)(25z2 + 20y2z + 16y4)

Programación lineal[editar]

La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.

Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, que denominaremos función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.


Historia[editar]

El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria.

Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantorovich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. Leonid Khachiyan en 1979 fue el primero en demostrar que el problema de la programación lineal se solucionaba en tiempo polinomial, sin embargo, el mejor avance en los principios teóricos y prácticos en el campo se produjo en 1984, cuando Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal.

El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de computación necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa; el número de posibles configuraciones excede al número de partículas en el universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la solución óptima mediante el planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo simplex. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número de posibles soluciones óptimas que deberán ser revisadas.

Definiciones varias[editar]

Incógnita[editar]

La cantidad desconocida que se determina resolviendo una ecuación. Generalmente se representa con una letra.

Expresión algebraica[editar]

Es una concatenación de números y letras unidos por diversas operaciones.

Fracción algebraica[editar]

Cociente indicado de dos polinomios, a los que se llama numerador y denominador de la fracción. Las fracciones algebraicas se comportan de manera parecida a las fracciones numéricas. Se las puede simplificar, reducir a denominador común y operar (suma, resta, multiplicaciones y división. Las propiedades de éstas operaciones son parecidas a las de las fracciones numéricas.

Solución de una ecuación[editar]

Es un valor de la incógnita, o a un conjunto de valores de la incógnita. Una ecuación puede tener una, ninguna o varias soluciones.

Reducir[editar]

La sustitución de los números por letras permite generalizar la aritmética, así, aplicando las reglas básicas del cálculo con números es posible simplificar la escritura de ciertas expresiones literales. Se dice que en ese caso se "reduce" la expresión.

Factorizar[editar]

Cuando se transforma una suma en un producto de factores, se dice que se ha "factorizado" esa suma.

Desarrollar[editar]

Cuando se transforma un producto en una suma de términos, se dice que se ha "desarrollado" ese producto.

Introducción a ecuaciones[editar]

La idea de ecuación, no obstante lo sencilla que en sí es, representa un descubrimiento científico de incalculable valor para el progreso humano. Posibilitó el progreso de los métodos matemáticos, físicos y científicos en general.
La ecuación es indudablemente el instrumento principal del álgebra, y de ahí la necesidad de familiarizarse con su mecanismo. Gran parte de la resolución de problemas algebraicos lleva consigo, en una u otra forma, el planteamiento de una ecuación.
Una ecuación es simplemente la expresión de una igualdad. Para referirse al área de un triángulo se escribe (b x h ) / 2 , y para la expresión correspondiente al interés simple, I = CRT. Del mismo modo, otras igualdades, tales como 7.z = 35, 18 . n = 36, son ecuaciones. Además de las cantidades conocidas, en toda ecuación hay una o más cantidades desconocidas, que se denominan incógnitas, y cuyo valor debe averiguarse. En determinar el valor de cada una de las incógnitas consiste precisamente la resolución de la ecuación. En ciertos casos resulta sencilla. En el ejemplo anterior, en que 7.z = 35, no sería muy difícil comprender que si 7z valen 35 unidades, una sola de las z debe valer 7 veces menos, o la cantidad resultante de dividir 35 entre 7, es decir, 5. Podemos indicar, pues, que z = 5, con lo que queda resuelta la ecuación.

Resolución de ecuaciones[editar]

La idea básica, única y fundamental es que se debe despejar, es decir, dejar en uno de los miembros la incógnita aislada.

Los pasos para resolver una ecuación sencilla de primer grado son:

  1. Separar todos los términos de la ecuación, del primer y del segundo miembro.
  2. Trasponer los términos sin incógnita del primer miembro al segundo. Al trasponerlos invierten su signo;(de positivo a negativo y de negativo a positivo).
  3. Trasponer los términos que incluyen la incógnita que están en el segundo miembro para el primero. Al trasponerlos invierten su signo; (de positivo a negativo y de negativo a positivo).
  4. Reducir los términos semejantes (sumar y restar), quedando solamente un término con la incógnita en el primer miembro y un número solamente en el segundo miembro.
  5. El valor de la incógnita se obtiene dividiendo el número del segundo miembro entre el coeficiente de la incógnita.
  6. Para seguridad verificamos si el valor obtenido satisface la ecuación inicial.

Expresiones algebraicas, más profundo[editar]

Constantes y variables[editar]

Uno de las cosas que dan al álgebra su carácter general, es el uso de las variables. Una variable puede representar cualquier número dentro de un dominio. Para nosotros, las variables podrán representar cualquier número real. Las variables serán expresiones literales, como , , , , etc.


Por otra parte, las constantes representan un único número dentro de un dominio. Ejemplos de constantes son


Expresiones algebraicas[editar]

El resultado de aplicar una o más veces cualquier operación algebraica a dos o más números es una expresión algebraica. Por ejemplo, las siguientes son expresiones algebraicas

.


Una expresión algebraica se dice un término algebraico si sus constantes o variables están combinadas mediante cualquier operación algebraica excepto la adición y la sustracción. Las siguientes expresiones son términos algebraicos


.



En un término, se dice que cualquier factor es coeficiente de los factores restantes. Por ejemplo, en el término , el es coeficiente de , es coeficiente de y es coeficiente de . Los coeficientes que sean números (como el tres del ejemplo anterior) se dicen coeficientes numéricos, mientras que los coeficientes que sean letras se dicen coeficientes literales. Si dos términos se ditinguen tan solo por su coeficiente numérico, entonces estos se dice que son términos semejantes. Por ejemplo,


y


son términos semejantes.


Un término se dice racional entero si sus literales están combinadas solamente por la operación de multiplicación. Por lo tanto, todas las expresiones siguientes son términos racionales enteros:


.


El grado de un término racional entero es la suma de los exponentes de sus literales. Por ejemplo, , y son términos de grados , y respectivamente.


Una expresión que es tan solo un término se llama monomio. Dos términos combinados por adición o sustracción forman un binomio. Ejemplos de binomios son


.


Tres términos combinados por adición o sustracción forman un trinomio. Una combinación de cualquier número de términos forma lo que se conoce con el nombre general de multinomio. Cuando todos los términos de un multinomio son racionales enteros, entonces el multinomio puede llamarse también polinomio. Un ejemplo de polinomio es la expresión siguiente:


.


El grado de un polinomio será el grado de su término de mayor grado. Así, el grado del polinomio del ejemplo anterior es .

Un poco de Topología[editar]

La Topología (del griego τόπος, “lugar”, y λόγος, “estudio”) es la rama de las matemáticas dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas.1 Es una disciplina que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas. La Topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar, entre otros múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, etcétera. (en breve será extendido el artículo)