Apuntes matemáticos/Primero Administración/Conjuntos Numéricos

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Introducción[editar]

Para estudiar las operaciones entre matrices es necesario primero conocer tipos de Matrices, ejemplo:

Tipos de matrices[editar]

Matriz fila[editar]

Una matriz fila está constituida por una sola fila pero varias columnas.

Matriz columna[editar]

La matriz columna tiene una sola columna pero varias filas.

Matriz rectangular[editar]

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada[editar]

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.



Matriz nula[editar]

En una matriz nula todos los elementos son ceros.


Matriz triangular superior[editar]

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.


Matriz triangular inferior[editar]

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros 0.

Matriz diagonal[editar]

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son ceros.



Matriz escalar[editar]

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.



Matriz identidad o unidad[editar]

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz regular[editar]

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa y su determinante es diferente de cero.

Matriz singular[editar]

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz simétrica[editar]

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica[editar]

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At.

Matriz ortogonal[editar]

Una matriz es ortogonal si verifica que: A•At = I.

Matriz traspuesta[editar]

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A (y notamos AT) a la matriz que se obtiene intercambiando ordenadamente las filas por las columnas de A. Es decir,


Ejemplo:

Si ,
entonces:


Propiedades:

  1. (AT)T = A
  2. (A + B)T = AT + BT
  3. (α •A)T = α• AT
  4. (A • B)T = BT • AT

Suma y Resta de matrices[editar]

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

  Sea A = 
 y B = 
 La suma A + B

es igual  a 

Del mismo modo la resta se hace componente a componente A - B


es igual a


Propiedades de la suma de matrices[editar]

De la dimension[editar]

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

Asociativa[editar]

A + (B + D) = (A - B) + D mmmm

Elemento neutro[editar]

A + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto[editar]

A + (-A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

Conmutativa[editar]

A + B = B + A

Producto de matrices[editar]

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. M(m*n) * M(n*p) = M(m*p); Y ademas m*p nos dirá el tamaño de la matriz resultante. El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Ejemplo: A•B =

es igual a

[C(3*3)]; matriz resultante de 3*3



Propiedades del producto de matrices[editar]

Asociativa[editar]

A • (B • C) = (A • B) • C

Elemento neutro[editar]

A • I = A Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. Anticonmutativa A • B ≠ B • A

Distributiva del producto respecto de la suma[editar]

A · (B + C) = A · B + A · C

Matriz inversa[editar]

A·A-1 = A-1 · A = I


Propiedades[editar]

(A · B) ^ (-1) = B ^ (-1) · A ^ (-1)

[ A^ (-1) ] ^ (-1) = A

(k · A) ^ (-1) = k ^ (-1) · A ^ (-1)

(A ^ t) ^ (-1) = [ A ^ (-1) ] ^ t

Cálculo de la inversa por el método de Gauss[editar]

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos: 1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha. Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1. F2 - F1


F3 + F2


F2 - F3


F1 + F2


(-1) F2


La matriz inversa es: F1


Puedes consultar este otro método para calcular la matriz inversa.

A • (B + C) = A • B + A • C

Bibliografia[editar]

1. LAY, David C. ÁLGEBRA LINEAL 2. George Nakos / David Joyner. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Thomson Editores,Buenos Aires,1999

3. ANTON, Howard. Introducción al álgebra lineal. Editorial Limusa, México, 1985. ISBN 968-18-0631-X