Álgebra/Lógica/Cuantificadores

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Definiremos los Cuantificadores, elementos matemáticos importantes para la continuación en el estudio de la lógica proposicional.

Objetivos

  • Conocer los cuantificadores universal y existencial
  • Aplicar los cuantificadores para la determinación de validez de oraciones

Cuantificadores[editar]

A diferencia de las proposiciones simples, las proposiciones compuestas y los argumentos, existen enunciados que se llaman abiertos, pues no pueden, a priori, ser relacionados con un valor de verdad verdadero o falso.

Por ejemplo, el enunciado no es ni verdadero ni falso. Entonces, es un enunciado abierto.

Cuando la variable es reemplazada por ciertos valores, podemos darle un valor de verdad.

  • Si , el enunciado es una proposición con valor de verdad verdadero.
  • Si , el enunciado es una proposición con valor de verdad falso.


Conjunto de Verdad[editar]

La colección de objetos que al emplearlos en lugar de las variables en un enunciado abierto, hacen que éste se convierta en una proposición verdadera, se llama conjunto de verdad del enunciado.

Antes de determinar el conjunto de verdad de un enunciado es necesario saber cuáles objetos están disponibles para tomados en cuenta. Es decir, debemos haber especificado un universo de discurso.

Por ejemplo, para le enunciado , si tomamos el conjunto universo como el conjunto de los números reales, entonces el conjunto de verdad de es el conjunto

En cambio, si para el mismo enunciado consideramos el conjunto universo como el conjunto de los números naturales, entonces el conjunto de verdad para es el conjunto .

También, si consideramos el conjunto universo como los números impares, entonces el conjunto de verdad para el enunciado es el conjunto vacío, denotado por el símbolo .

De esta manera, un enunciado se convierte en una proposición cuando la variable toma un valor determinado .

Introduciremos, entonces, lo que es un cuantificador, que usaremos como herramienta para modificar un enunciado en una proposición .


Para un enunciado , con variable, tenemos dos casos:

  • El enunciado se lee ``para todo ´´, y es verdadero precisamente cuando el conjunto de verdad para es el conjunto universo completo.

El símbolo se llama cuantificador universal.

  • El enunciado se lee ``existe tal que ´´, y es verdadero precisamente cuando el conjunto de verdad para no es vacío (es decir, existe al menos un elemento que cumple con el enunciado).

El símbolo se llama cuantificador existencial.


Ejemplos

  1. El enunciado es verdadero, pues al menos un valor de en los números reales cumple tal afirmación. Tomar, por ejemplo, .
  2. El enunciado es falso, pues en los números reales no todos los números son mayores que 3. Por ejemplo, considerar el valor .
  3. El enunciado es falso, pues no existe ningún número real que elevado al cuadrado pueda dar un valor negativo.
  4. El enunciado es verdadero, pues siempre el lado izquierdo de la inecuación será mayor que el lado derecho, independiente del valor que tome .


Un cuantificador especial

Para un enunciado abierto , la proposición se lee existe un único tal que .

Tal enunciado es verdadero cuando el conjunto de verdad consta exactamente de un elemento.

Por ejemplo, la proposición es número primo par es verdadera, pues en el universo de los números reales, el único número primo par es el número 2.


Negación de Cuantificadores[editar]

Los cuantificadores se niegan de la siguiente manera


Por ejemplo, si consideramos el conjunto universo como los números reales, queremos negar el enunciado

la negación sería