Álgebra/Álgebra combinatoria/Binomio de Newton

De Wikilibros, la colección de libros de texto de contenido libre.
Ir a la navegación Ir a la búsqueda

Formulación del teorema[editar]

Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de (que también es representado ocasionalmente como o ) se obtiene la siguiente representación: El coeficiente de en el desarrollo de es donde recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

Ejemplo[editar]

Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientes del triángulo de Pascal:

(2)

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en los términos con potencias impares de y. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

Teorema generalizado del binomio (Newton)[editar]

Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita (que converge cuando |x/y|<1):

(3)

Donde r puede ser cualquier número real (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).

Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

La suma en (3)

converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absolutox/y | sea menor que uno.