Matemáticas/Geometría/Poliedros/Clasificación Poliedros

Los poliedros o cuerpos planos, son cuerpos geométricos cuyas caras son todas figuras geométricas exclusivamente planas.

Prismas

En geometría, un prisma es un poliedro con una base poligonal de n lados, una copia de traslación (no en el mismo plano que la primera), y otras n caras (todas necesariamente deben ser paralelogramos) que une los lados correspondientes de las dos bases. Todas las secciones transversales paralelas a las caras de la base son iguales

Volumen

El volumen de un prisma es el producto del área de la base por la distancia o altura entre las dos bases. Su valor se expresa como:

$V=B\cdot h$

donde B es el área de la base y h es la altura. El volumen de un prisma, cuya base es un polígono regular de n lados con una longitud de lado s, es:

$V={\frac {n}{4}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}.$

Sólidos platónicos

Los sólidos platónicos o regulares son poliedros convexos tal que todas sus caras son polígonos regulares iguales entre sí, y en que todos los ángulos sólidos son iguales.1 Reciben este nombre en honor al filósofo griego Platón (ca. 427 a. C./428 a. C.-347 a. C.), a quien se atribuye haberlos estudiado en primera instancia. También se conocen como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, sobre la base de propiedades geométricas, poliedros regulares convexos. Los sólidos platónicos son el tetraedro, el cubo (o hexaedro regular), el octaedro (o bipirámide cuadrada si se incluyera en la nomenclatura de sólidos de Johnson),2 el dodecaedro y el icosaedro (o bipirámide pentagonal giroelongada si se incluyera en la nomenclatura de sólidos de Johnson).

Propiedades

Teorema

Existen únicamente cinco poliedros regulares; ello debido a la posibilidad de construcción de sus ángulos sólidos que admiten triángulos equiláteros, o cuadrados, o bien pentágonos, que deben ser menor de 360°.

Regularidad

Tal y como se ha expresado para definir estos poliedros:

• las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.
• En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y de aristas.
• Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.
• Todos los ángulos diedros que forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales.
• Todos sus vértices son convexos a los del icosaedro.

Simetría

Los sólidos platónicos tienen caracterizaciones simétricas:

• El centro de un cubo ( de un octaedro regular) es centro de simetría de dicha figura, devuelve la misma figura; mas no lo es, el centro de un tetraedro regular. Todos ellos gozan respecto a un punto del espacio (centro de simetría) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas, pero no se conserva la figura original.
• Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior.
• Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales.

Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:

• Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro.
• Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro.
• Una esfera circunscrita, que pase por todos los vértices del poliedro.

Proyectando los centros de las aristas de un poliedro platónico sobre su esfera circunscrita desde el centro de simetría del poliedro se obtiene una red esférica regular, compuesta por arcos iguales de círculo máximo, que constituyen polígonos esféricos regulares.

Conjugación

El artículo principal de esta categoría es Poliedro dual.

Si se traza un poliedro empleando como vértices los centros de las caras de un sólido platónico se obtiene otro sólido platónico, llamado conjugado del primero, con tantos vértices como caras tenía el sólido inicial, y el mismo número de aristas. El poliedro conjugado de un dodecaedro es un icosaedro, y viceversa; el de un cubo es un octaedro; y poliedro conjugado de un tetraedro es otro tetraedro.

Ecuación intrínseca

El Teorema de poliedros de Euler expresa una cualidad topológica de los poliedros convexos, al margen de sus medidas y formas, y de modo especial de los poliedros regulares. Enuncia que el número de caras de un poliedro platónico más el número de sus vértices es igual al número de sus aristas más dos, mediante la siguiente ecuación:

$c+v=a+2$

Tabla comparativa

Sólidos Platónicos	Tetraedro	Hexaedro, Cubo	Octaedro	Dodecaedro	Icosaedro
Animación
Desarrollo
Número de caras	4	6	8	12	20
Polígonos que forman las caras	Triángulos Equiláteros	Cuadrados	Triángulos Equiláteros	Pentágonos Regulares	Triángulos Equiláteros
Número de aristas	6	12	12	30	30
Número de vértices	4	8	6	20	12
Caras concurrentes en cada vértice	3	3	4	3	5
Vértices contenidos en cada cara	3	4	3	5	3
Grupo de simetría	Tetraédrico (Td)	Hexaédrico (Hh)	Octaédrico (Oh)	Icosaédrico (Lh)	Icosaédrico (Lh)
Poliedro dual	Tetraedro (autoconjugado)	Octaedro	Hexaedro, Cubo	Icosaedro	Dodecaedro
Símbolo de Schläfli	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
Símbolo de Wythoff	3 | 2 3	3 | 2 4	4 | 2 3	3 | 2 5	5 | 2 3
Ángulo diedro	70.53° = arccos(1/3)	90°	109.47° = arccos(-1/3)	116.56°	138.189685°
Radio externo	$R={\frac {\sqrt {6}}{4}}\cdot a$	$R={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot a$	$R={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot a$	$R={\frac {a}{4}}({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}})$	$R={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$
$\approx$	$0.612\cdot a$	$0.866\cdot a$	$0.707\cdot a$	$1.401\cdot a$	$0.951\cdot a$
Radio interno	$r={\frac {\sqrt {6}}{12}}\cdot a$	$r={\frac {a}{2}}$	$r={\frac {\sqrt {6}}{6}}\cdot a$	$r={\frac {a}{20}}{\sqrt {250+110{\sqrt {5}}}}$	$r={\frac {a}{12}}(3{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}})$
$\approx$	$0.204\cdot a$	$0.5\cdot a$	$0.408\cdot a$	$1.113\cdot a$	$0.756\cdot a$

Sólidos arquimedianos

Sólidos arquimedianos
Nombre	Imagen	Caras		Aristas	Vértices	Grupo puntual
Tetraedro truncado	Animación	8	4 × hr 4 × te	18	12 × 3·6·6	Td
Cuboctaedro	Animación	14	6 × cu 8 × te	24	12 × 3·4·3·4	Oh
Cubo truncado	Animación	14	6 × or 8 × te	36	24 × 3·8·8	Oh
Octaedro truncado	Animación	14	8 × hr 6 × cu	36	24 × 4·6·6	Oh
Rombicuboctaedro o rombicuboctaedro menor	Animación	26	18 × cu 8 × te	48	24 × 3·4·4·4	Oh
Cuboctaedro truncado o rombicuboctaedro mayor	Animación	26	6 × or 8 × hr 12 × cu	72	48 × 4·6·8	Oh
Cubo romo o cuboctaedro romo (2 formas isomórficas)	Animación Animación	38	6 × cu 32 × te	60	24 × 3·3·3·3·4	O
Icosidodecaedro	Animación	32	12 × pr 20 × te	60	30 × 3·5·3·5	Ih
Dodecaedro truncado	Animación	32	12 × dr 20 × te	90	60 × 3·10·10	Ih
Icosaedro truncado	Animación	32	20 × hr 12 × pr	90	60 × 5·6·6	Ih
Rombicosidodecaedro o rombicosidodecaedro menor	Animación	62	12 × pr 30 × cu 20 × te	120	60 × 3·4·5·4	Ih
Icosidodecaedro truncado o rombicosidodecaedro mayor	Animación	62	12 × dr 20 × hr 30 × cu	180	120 × 4·6·10	Ih
Dodecaedro romo o icosidodecaedro romo (2 formas isomórficas)	Animación Animación	92	12 × pr 80 × te	150	60 × 3·3·3·3·5	I
dr = decágonos regulares; or = octógonos regulares; hr = hexágonos regulares pr = pentágonos regulares; cu = cuadrados; te = triángulos equiláteros

Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son un grupo de poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares de dos o más tipos. Todos los sólidos de Arquímedes son de vértices uniformes. La mayoría de ellos se obtienen truncando los sólidos platónicos. Arquímedes describió ampliamente estos cuerpos en trabajos que fueron desapareciendo, fue recién en el Renacimiento cuando artistas y matemáticos los redescubrieron.

Siete sólidos arquimedianos se pueden obtener truncando sólidos platónicos: el tetraedro truncado, el cuboctaedro, el cubo truncado, el octaedro truncado, el icosidodecaedro, el dodecaedro truncado y el icosaedro truncado.