Álgebra Abstracta/Estructuras Algebraicas

Introducción

En el capítulo Las Estructuras Algebraicas se presentó la noción intuitiva de \textit{estructura algebraica} como consistente de un conjunto con una o varias operaciones. Varias veces, en le texto, se hizo referencias a una teoría más general de estructuras (ver las definiciones de subgrupo y de homomorfismo de grupos).

Presentaremos, en este apéndice, un tratamiento más cuidadoso de la noción de estructura, pero limitados a lo necesario para el texto.

La teoría de las estructuras tiene también otros nombres: por ejemplo, álgebra universal. La reciente teoría de categorías también contribuye al estudio de las estructuras. Finalmente, la teorías, más recientes, de programación de computadoras, con sus nociones de clases, superclases, descendientes, etc. tiene conexiones con las estructuras algebraicas. Una teoría general debiera incluir todos esos aspectos, pero excede los alcances de nuestro libro.

Las Operaciones

La noción básica es veremos es aquella de operación $n$--aria

Definición. (Operación) Una operación $n$--aria, $n\geq 0$ en un conjunto $E$ es una función

$\omega :E^{n}\longrightarrow E.$

Donde, cuando, $n>0$, $E^{n}$ es el producto cartesiano de $E$ consigo mismo $n$ veces, o sea el conjunto formado por todas las $n$--uplas ordenadas de elementos de $E$. Por su parte, $E^{0}$ será el conjunto $\{\emptyset \}$.

Una operación es una operación $n$--aria para un cierto $n$. El número $n$ se llama la aridad de la operación.

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Ejemplos.

• Una operación 1--aria es simplemente una función de $E$ en si mismo.
• Una operación binaria es una operación 2--aria.
• Una operación 0--aria se interpretará como la selección de un elemento de $E$. Usualmente denotaremos la operación por el nombre del elemento seleccionado, a veces con un subrayado, ${\underline {e}}$.

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Definición. (Conjunto cerrado respecto a una Operación) Sea $\omega$ una operación $r$--aria en $E$. Un subconjunto $F$ es cerrado respecto a dicha operación, ssi, para todo $x_{1},\dots ,x_{r}$ se cumple que

$x_{1},\dots x_{r}\in F\implies \omega (x_{1},\dots ,x_{r})\in F.$

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Cuando un subconjunto $F$ de $E$ es cerrado respecto a una operación $r$-=aria $\omega$, tenemos asociada una operación $\omega {\big |}_{F}$ en $F$ tal que para todo $x_{1},\dots ,x_{r}$ en $F$ se cumple que

$\omega {\big |}_{F}(x_{1},\dots ,x_{r}):=\omega (x_{1},\dots ,x_{r}.$

Decimos que esa operación en $F$ es la restricción de (la operación global) $\omega$ a $F$. Usualmente, denotamos la restricción por el mismo símbolo que la operación (global). Notemos que la operación y su restricción tienen igual aridad.

Notemos, también, que un subconjunto $F$ es cerrado respecto a una operación $0$--aria $e$, cuando $e\in F$.

Definición. (Función compatible con operaciones) Sea $\omega$ una operación en un conjunto $E$ y $\omega '$ una operación de igual aridad en $E'$. Decimos que una función $f:E\longrightarrow E'$ es compatible con la pareja $(\omega ,\ \omega ')$, ssi, $f$ permuta con las operaciones, es decir que el siguiente diagrama de funciones es conmutativo.

Es decir que $f(\omega (x_{1},\dots ,x_{r}))=\omega '(f(x_{1}),\dots ,f(x_{r}))$.

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Notemos que si $\omega ={\underline {e}}$ y $\omega '={\underline {e'}}$ son $0$--arias entonces la conmutatividad del diagrama de compatibilidad es la siguiente

Es decir que $f(e)=e'$.

Estructuras Algebraicas

Definición. (Estructura Algebraica) Una estructura algebraica es una pareja $<E;\Omega >$ donde $E$ es un conjunto, llamado el conjunto portador o base de la estructura y $\Omega$ es una lista $\Omega =<\omega _{1},\omega _{2},\dots ,\omega _{k}>$ donde los $\omega _{i}$ son operaciones. Nos referiremos a $\Omega$ como la lista de parámetros de la estructura. Llamaremos tipo de la estructura a la lista de aridades correspondientes a las operaciones en la lista $\Omega$.

Cuando la lista sea clara del contexto, podremos referirnos a la estructura por el nombre del conjunto base.

Cuando en una estructura, suponemos propiedades especiales de las operaciones de la lista, llamamos axiomas de la estructura a dichas propiedades.

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Ejemplos.

1. Un magma es una estructura $<E;*>$ donde $*$ es una operación binaria en $E$. El tipo del magma es $<2>$.
2. Un semigrupo es una estructura $<E;*>$ donde $*$ es una operación binaria en $E$, tal que (axioma) la operación es asociativa. El tipo de un semigrupo es $<2>$.
3. Un monoide es una estructura $<E;*,{\underline {e}}>$, donde $*$ es una operación binaria y ${\underline {e}}$ es una operación 0-aria tales que se tiene los siguientes axiomas:
   • [M-1] * es una operación asociativa.
   • {M-2] $e$ en $E$ es un neutro para la operación $*$.

   El tipo de la estructura monoide es $<2,0>$.

4. Un grupo es una estructura $<E;*,{\underline {e}},{\textsf {inv}}>$, donde $*$ es una operación binaria, ${\underline {e}}$ es una operación 0-aria y \textsf{inv} es una operación 1--aria tales que se tiene los siguientes axiomas:
   • [G-1]* es una operación asociativa.
   • [G-2] $e$ en $E$ es un neutro para la operación $*$.
   • [G-3] Para todo $x$ en $E$, ${\textsf {inv}}(x)$ es un inverso de $x$ respecto a la operación $*$.

   El tipo de la estructura grupo es $(2,0,1)$.

Cuando la estructura tiene un nombre podemos referirnos al tipo por el nombre de la estructura.

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Definición. (Estructuras comparables y homólogas) Decimos que las estructuras $<E,\Omega >$ y $<F,\Omega '>$ son comparables, ssi, hay una biyección de $\Omega$ en $\Omega '$ tal que cuando a $\omega$ en $\Omega$ le corresponde (por la biyección) $\omega '$ en $\Omega '$, entonces $\omega$ y $\omega '$ tienen la misma aridad.

Decimos que las estructuras son homólogas, cuando sean comparables y las operaciones correspondientes satisfagan los mismo axiomas.

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Luego, dos estructuras son comparables, cuando, después de una permutación de la lista de parámetros de una de ellas, tienen el mismo tipo. En el futuro, cuando digamos que dos o más estructuras tienen el mismo tipo, supondremos que las operaciones de una se han permutado de manera que ambas tienen el mismo tipo; es decir que operaciones situadas en la misma posición en la lista de parámetros tienen igual aridad.

Morfismos de Estructuras

Definición. (Morfismo) Sean $<E,\Omega >$ y $<E'<\Omega '>$ dos estructuras comparables de tipo ${\mathcal {T}}$. Llamamos morfismo (o ${\mathcal {Y}}$--morfismo) de $E$ en $E'$ a una función $f:E\longrightarrow E'$ compatible con las parejas de operaciones correspondientes.

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Se tiene claramente que la composición de morfismos es un morfismo. Cuando el morfismo sea inyectivo (resp, suprayectivo, biyectivo), podremos hablar de monomorfismo, (resp. supramorfismo, isomorfismo).

Denotamos por ${\textsf {Hom}}_{\mathcal {T}}(E,E')$ el conjunto de morfismos de tipo ${\mathcal {T}}$ de $E$ en $E'$. Cuando $E=E'$, la composición provee a ${\textsf {End}}_{\mathcal {T}}(E)={\textsf {Hom}}_{\mathcal {T}}(E,E)$ de una estructura de monoide, con neutro la identidad. ${\textsf {Aut}}_{\mathcal {T}}(E)$ es el grupo de los isomorfismos de la estructura.

Subestructura

Sea $<E;\Omega >$ una estructura de tipo ${\mathcal {T}}$. Sea $F$ un subconjunto no vacío cerrado respecto a cada una de las operaciones en $\Omega$. Por lo que tenemos definida una estructura $<F,\Omega {\big |}_{F}>$ donde $\Omega {\big |}_{F}$ está formada por las restricciones de las operaciones en $\Omega$.

Definición. (Subestructura) Decimos que $F$ determina una subestructura de tipo ${\mathcal {T}}$ de $E$, ssi, la estructura restringida $<F,\Omega {\big |}_{F}>$ es homóloga a la estructura de $E$. Notación: $F<_{\mathcal {T}}E$

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Con las notaciones anteriores, la inclusión ($x\mapsto x$) de $F$ en $E$ es compatible con las operación restringida y la operación en $E$.

Ejemplo.

Consideremos el monoide $<E=\mathbb {Z} _{10},\cdot >$. (Enteros módulo 10). Sea $F=\{2,4,6,8\}\subset \mathbb {Z} _{10}$. Veamos la multiplicación en $F$

${\begin{array}{c|cccc}\cdot &2&4&6&8\\\hline 2&4&8&2&6\\4&8&2&8&4\\6&2&4&6&8\\8&6&2&6&4\end{array}}$

Vemos de la tabla que $F$ es cerrado respecto a la operación, además tiene un neutro $6$. Por lo que $<F,\cdot ,6>$ es un monomio, que como estructura es comparable con la estructura de $E$. Sin embargo, $F$ no es un submonoide, ya el conjunto base de una subestructura debe ser cerrado respecto a todas las operaciones, lo que en nuestro caso no se cumple, ya que $F$ no es cerrado respecto a la operación $0$--aria que define al neutro 1 de $E$.

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Observación. Dada una familia de subconjuntos bases de subestructuras de una estructura $E$ que contienen a un subconjunto $S$, se puede proveer a la intersección de todos los subconjuntos de la familia de una subestructura de $E$. Tal subestructura será la \textit{estructura generada} por $S$.

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Observación. Cuando $<F,\Omega {\big |}_{F}>$ es una subestructura de $E$, la función definida por la inclusión es un morfismo de las estructuras.

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Superestructuras, Descendientes, Herencias

Definición. (Superestructura, descendiente) Sea $<E;\Omega >$ y $E;\Theta >$ dos estructuras tales que $\Omega \subset \Theta$ o, $\Omega =\Theta$ y el conjunto de axiomas de $E$ está contenido en el conjunto de axiomas de $F$. En tal situación decimos que $E$ es una subyacente o superesrtructura de $F$ o que $F$ es un descendiente de $E$. Denotamos dichas relaciones como $E\searrow F$ o $F\swarrow E$.

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Cuando $E\searrow F$, cada propiedad (en particular, los axiomas) de $E$ son válidos para $F$. Decimos que $F$ hereda las propiedades de $E$. Las relaciones de super y descendencia son transitivas.

Ejemplos.

La estructura de magma es una super estructura de la estructura de semigrupo. Tenemos, las siguientes relaciones

${\textsf {Magma}}\searrow {\textsf {Semigrupo}}\searrow {\textsf {Monoide}}\searrow {\textsf {Grupo.}}$

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Estructura Subyacente Cuando $E$ es una estructura, obtenemos estructuras subyacentes si nos olvidamos de una o varias operaciones, o de algunos axiomas. Esta es la terminología preferida de los algebristas.

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Ejemplo.

Sea $<\mathbb {N} ;+,0>$ el monoide aditivo de los naturales. A partir de esa estructura podemos obtener tres estructuras subyacentes (o super estructuras):

1. $<\mathbb {N} ;+>$ que es una estructura subyacente de semigrupo.
2. $<\mathbb {N} ;0>$ que es una estructura sin nombre especia y que especifica que $0\in \mathbb {N}$>
3. $<\mathbb {N} ;>$ (la lista de operadores es vacía; solamente afirmamos que $\mathbb {N}$ es un conjunto.

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Observación. Sea $E$, $F$, $H$ estructuras tales que $E\swarrow F$ y $H<E$. Entonces, $H\swarrow E$. Una subestructura de un descendiente de un tercera estructura, es también un descendiente de esa estructura. Por abuso de lenguaje, decimos que $H$ es una subestructura del tipo de $F$ de $E$.

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Comentarios

La exposición anterior pretendía mostrar que los asuntos de estructuras aunque simples no son triviales y que se debe ser cuidadosos con sus usos.

La noción de estructura puede expandirse a considerar lista de parámetros no homogéneas. Es decir que además de operaciones, incluyan relaciones (por ejemplo, para un cuerpo ordenado), predicados e inclusive otras estructuras.

Ejemplo.

La Estructura de Anillo puede considerarse como una descendiente de la estructura de grupo abeliano, por lo que podría representarse como

$<A;+,0,x\mapsto -x,\cdot ,1>$

Pero, también podríamos escribir

$<A;<A;+,0,\mapsto -x>.\cdot 1>$

para destacar que se trata de un grupo abeliano (que aparecerá invariablemente) pero que la multiplicación puede tener diferentes propiedades, dando origen a descendientes tales como dominios, anillos con división, cuerpos, etc. También podríamos poner

$<A;<A,+>_{\text{Grupo Ab}},<A,\cdot >>.$

Dejaremos el tema aquí, porque creemos haber cumplido con lo anunciado en la introducción.

A quien pudiera interesarle el tema, le recomendamos que inicie una búsqueda en la WEB de los temas "Álgebra Universal", "Estructuras Algebraicas" (a veces, aparece como sinónimo de "Álgebra Abstracta").

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