Física/Lo que aprendí leyendo a Feynman - Electromagnetismo/Solución de las Ecuaciones de Maxwell en el espacio vacio

Solución de las Ecuaciones de Maxwell en el Espacio Vacio

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En el capítulo anterior alcanzamos el punto en el que tenemos el conjunto completo de las ecuaciones de Maxwell. Todo lo que se debe saber sobre electromagnetismo esta contenido en estas ecuaciones.

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$

$c^{2}{\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {\vec {J}}{\epsilon _{0}}}+{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

Hemos visto que cuando las ponemos juntas, ocurren un fenomeno sorprendente: los campos que se generan por cargas en movimiento pueden dejar sus fuentes y viajar solitos a través del espacio. Revisamos un ejemplo en el que teníamos una hoja con carga sobre el plano yzy en t=0 comenzábamos a mover la hoja para obetener una corriente. Esto nos generaba campos eléctricos en la direccion de "y" y campos magnéticos en la direccion de "z", cuya magnitud esta dada por:

$E_{y}=cB_{z}=-{\frac {J}{2\epsilon _{0}c}}$

para x positiva, menor que $ct$. Para x mayor, los campos valían cero. Debido a la simetría de la hoja con carga, también se generaban campo iguales, pero con signo opuesto en la dirección negativa de "x".

Ahora consideremos un ejemplo un poco más complicado. Consideremos que la corriente es encendida hasta una unidad por un instante, luego la intensidad de la corriente es subida a tres unidades, y después es llevada a cero. ¿Cuáles son los campos para esa corriente? Dividiremos el problema en tres partes. Primero encontremos los campos para la corriente con una unidad de fuerza (ya hemos resuelto ese problema), después encontramos los campos producidos para una corriente de dos unidades, y finalmente resolvamos para corriente de menos tres unidades. Cuando sumamos las tres partes, tenemos una corriente que es de una unidad de t=0 a otro tiempo consecuente, digamos $t_{1}$, después tendremos una corriente de tres unidades entre $t_{1}$ y $t_{2}$ y finalmente es apagada, es decir, vale cero. En la figura 1 se observa una gráfica en función del tiempo. Cuando sumamos las tres soluciones para el campo eléctrico encontramos que su variación con x a un tiempo t es como se muestra en la figura 2. El campo resulta ser una representacion exacta de la corriente. La distribución del campo en el espacio es uan buena gráfica de la variación de la corriente en el tiempo, solo que dibujada haca atrás. Si estuviéramos muy lejos, podríamos decir, a partir de la variación de los campos eléctricos y magnéticos como ha variado la corriente en la fuente.

Notamos también que tiempo después de que la actividad en la fuente se ha detenido completamente, y todas las cargas y corrientes son cero, el bloque de campo continúa viajando en el espacio. Tenemos una distribución de campos eléctricos y magnético que existen independientemente de cualquier carga o corriente. Si queremos podemos dar una representación matemática de análisis que acabamos de hacer escribiendo que el campo eléctrico a un tiempo y lugar dados es proporcional a la corriente en la fuente, solo que no al mismo tiempo, sino que a un tiempo $t-{\frac {x}{c}}$ más temprano. Podemos escribir

$E_{y}(t)=-{\frac {J(t-{\frac {x}{c}})}{2\epsilon _{0}c}}$

Veamos ahora en una manera más general el comportamiento de campos eléctricos y magnéticos en el espacio vacío y lejos de las fuentes (corrientes y cargas). Cerca de las fuentes, lo suficiente para que durante el retraso de la transmión la fuente no halla tenido tiempo de cambiar,los campos son prácticamente los mismos que en el caso de magneto y electrotática. Para distancias mayores, donde el retraso se hace importante, la naturaleza de los campos puede ser completamente diferente a la solución ue hemos encontrado. De alguna manera los campos se hacen indepenientes de las fuentes y comienzan a tomar forma propia. Entonces, ¿Qué tipo de campos podemos encontrar en regiones donde no hay cargas ni corrientes? En el capítulo anterior habíamos encontrado

$\nabla ^{2}{\vec {A}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\vec {J}}{\epsilon _{0}c^{2}}}$

$\nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

Si las densidades de carga y corriente son cero:

$\nabla ^{2}{\vec {A}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}$

$\nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}$

En el espacio vacío, el potencial escalar y cada una de las componentes del vector potencial satisfacen la misma ecuación, la llamada ecución de onda. En el espacio vacío, los campos eléctricos y mangnéticos satisfacen la misma ecuación de onda. Veamos cómo. Primero recordemos que ${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}$, y consideremos

$\nabla ^{2}{\vec {A}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}$

tomando el rotacional de esta relación:

${\vec {\nabla }}\times (\nabla ^{2}{\vec {A}})={\vec {\nabla }}\times ({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}})$

Ya que el Laplaciano es un operador escalar, el orden del Laplaciano y del rotacional puede ser intercambiado

${\vec {\nabla }}\times (\nabla ^{2}{\vec {A}})=\nabla ^{2}({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})=\nabla ^{2}{\vec {B}}$

De igual manera, el orden del rotacional y de la derivada respecto al tiempo puede ser intercambiado:

${\vec {\nabla }}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}$

Entonces podemos escribir la ecuación para B de la siguiente manera:

$\nabla ^{2}{\vec {B}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}=0$

Cada componente del campo magnético satisface la ecuación de onda. Similarmente podemos econtrar que, en el espacio libre, el campo eléctrico satisface la misma ecuación de onda:

$\nabla ^{2}{\vec {E}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=0$

Pero, ¿Cuál será la solución más general a esta ecuación? Antes de contesar esta pregunta difícil, veamos primero que podemos decir en general sobre aquellas soluciones en las que nada varía ni en y ni n z. Suponemos que las magnitudes de los campos dependen sólo de x. Ahora empezaremos directamente con las ecuaciones de Maxwell en el espacio vacío

$(I){\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=0$

$(II){\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$

$(III){\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$

$(IV)c^{2}{\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

Como asumimos que los campos solo dependen de x, entonces de la ecuación I solo sobrevive el término:

${\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}=0$

La solución es que $E_{x}$ es una constante en el espacio. Este tipo de campo podría ser el producido entre las placas de un condensador, pero por el momento estamos sólamente interesados en campo dinámicos, entonces, $E_{x}=0$ . Hemos llegado a un resultado importante, para la propagación de ondas planas en cualquier dirección, el campo eléctrico debe estar a ángulos rectos de la dirección de propagación de la onda. La componente transversal del campo puede separarse en dos componente, digamos "y" y "z". Analicemos primero el caso en que el campo eléctrico tiene solo una componente transersal sobre el eje y. Ahora la única componente del campo eléctrico que no es cero es $E_{y}$, y de todas las derivadas, la única que sobrevive es con respecto a x. Veamos la segunda de las ecuaciones de Maxwell. Escribimos explícitamente el rotacional:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=({\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}){\hat {i}}+({\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}})){\hat {j}}+({\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}})){\hat {k}}={\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}{\hat {k}}$

Igualando las componentes del rotacional a las correspondientes componentes de $-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$, tenemos que

${\frac {\partial B_{x}}{\partial t}}=0,{\frac {\partial B_{y}}{\partial t}}=0$

$(*){\frac {\partial B_{z}}{\partial t}}=-{\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}$

Entonces, para ondas electromagnéticas planas, tanto el campo magnético como el eléctrico tienen que ser perpendiculares a la dirección de propagación. Además, vemos que B y E son perpendiculares entre sí también.

Por último, usaremos la ecuación (IV) de Maxwell.

$c^{2}{\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

Desarrollando el rotacional tenemos:

$c^{2}({\frac {\partial B_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial B_{y}}{\partial z}}){\hat {i}}+c^{2}({\frac {\partial B_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}){\hat {j}}+c^{2}({\frac {\partial B_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial B_{x}}{\partial y}}){\hat {k}}=({\frac {\partial E_{x}}{\partial t}}){\hat {i}}+({\frac {\partial E_{y}}{\partial t}}){\hat {j}}+({\frac {\partial E_{z}}{\partial t}}){\hat {k}}$

De todo esto, el único término que sobrevive es

$(*)-c^{2}{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}={\frac {\partial E_{y}}{\partial t}}$

El resultado de nuestro trabajo es que solo una componente de cada campo es diferente de cero, y que estas componentes deben satisfacer las relaciones (*) que hemos obtenido. Estas dos relaciones pueden ser combinadas en una misma de la siguiente manera.

Tomamos la primera relación ${\frac {\partial B_{z}}{\partial t}}=-{\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}$

y derivandola respecto a x tenemos

${\frac {\partial }{\partial x}}({\frac {\partial B_{z}}{\partial t}})=-{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}$

Ahora tomamos la segunda, $-c^{2}{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}={\frac {\partial E_{y}}{\partial t}}$

y derivando respecto a t,

$-c^{2}{\frac {\partial }{\partial t}}({\frac {\partial B_{z}}{\partial x}})=-{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial t^{2}}}$

Podemos igualar las dos expresiones que hemos encontrado y resulta:

${\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial t^{2}}}=0$

Es la ecuación de onda unidimensional. En general, si tenemos la ecuación

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=0$

sabemos que una posible solución es una función $\psi (x,t)$ de la forma

$\psi (x,t)=f(x-ct)$

Esta función representa un patrón rígido que se desplaza en la dirección positiva del eje x a una velocidad c. Pero no solo una función de $(x-ct)$ es solución, una función de $(x+ct)$ también lo es. Entonces, por el principio de superposición, la solución más general a esta ecuación de onda es

$\psi =f(x-ct)+g(x+cy)$

Aplicando nuestra conclusión sobre la solución de la ecuación de onda a la componente y del campo eléctrico, encontramos que $E_{y}$ puede variar con x de cualquier manera. Debemos recordar que en cualquier punto, el campo eléctrico y el campo magnético son perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación. Si tenemos ondas viajando en una dirección, digamos sobre el eje x, existe una regla simple que nos dice la orientación relativa de los campos eléctricos y magnéticos, esta regla es que el producto cruz de ${\vec {E}}\times {\vec {B}}$ apunta en la dirección en que la onda está viajando. Este producto tiene un significado especial: es el vector que describe el flujo de energía en un campo electromagnético. Es llamado vector de Poynting y se denota

${\vec {S}}={\vec {E}}\times {\vec {B}}$

Ondas en tres dimensiones

Volvemos ahora a las onda en tres dimensiones. Anteriormente habíamos mencionado que el campo eléctrico satisface la ecuación de onda tridimensional. Veamos ahora la demostración a partir de las ecuaciones de Maxwell:

Empezamos con

${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$

Tomando el rotacional de ambos lados:

$(**){\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}})=-{\frac {\partial }{\partial t}}({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})$

Recordamoa la identidad ${\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}})={\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}})-\nabla ^{2}{\vec {E}}$

Ya que en el espacio libre la divergencia de E es cero, solo sobrevive el laplaciano. Consideremos ahora la cuarta ecuación de Maxwell en el espacio libre:

$c^{2}{\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

Tomado la derivada respecto al tiempo de esta expresión encontramos:

$c^{2}{\frac {\partial }{\partial t}}({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}$

Entonces la ecuación (**) se convierte en

$\nabla ^{2}{\vec {E}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=0$

Es justo a lo queríamos llegar. Ahora, ¿Cómo encontramos la solución de onda general? La respuesta es que todas las soluciones de la ecuación de onda tridimensional puede ser representada mediante una superposición de soluciones de onda unidimensionales, que ya hemos encontrado.

Ondas Esféricas

Hemos visto que hay soluciónes de la ecuación de onda que corresponden a ondas planas, y cualquier onda electromagnética puede ser descrita como una superposición de muchas ondas planas. Sin embargo, en algunas ocasiones es más conveniente expresar estas soluciones en una forma matemática distina. Revisaremos las ondas esféricas, que son ondas que corresponden a superficies esféricas que se estan esparciendo desde un origen. Sea $\psi (r)$ la distancia radial desde el origen, donde $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

Para poder encontar la función $\psi (r)$ que satisface la ecuación de onda, necesitamos una expresión para el Laplaciano de $\psi$. Esta es

$\nabla ^{2}\psi (r)=\psi ''(r)+{\frac {2}{r}}\psi '(r)$

o la expresión que es equivalente

$\nabla ^{2}\psi (r)={\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(r\psi )$

Si queremos considerar campos con simetría esférica que se propagan como ondas esféricas, nuestro campo debe ser una función de r y t. Ahora, ¿Qué función $\psi (r,t)$ satisface la ecuacion tridimensional:

$\nabla ^{2}\psi (r,t)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (r,t)=0$ ?

Sustituyamos la expresion que hemos encontrado para el laplaciano, solo cambiando la deriada total respecto a r por una derivada parcial, ya que $\psi$ también depende del tiempo.

${\frac {1}{r}}{\partial ^{2}}{\partial r^{2}}(r\psi )-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =0$

Ahora debemos resolver esta ecución. Si la multimplicamos por r obtenemos

${\partial ^{2}}{\partial r^{2}}(r\psi )-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(r\psi )=0$

Esta ecuación nos dice que la función $r\psi$ satisface la ecuación de onda en una dimensión, además sabemos que si $\psi$ es solo funcion de (r-ct), entonces será solución de la ecuación de onda. Entonces, las ondas esféricas tendrán la forma $r\psi (rt)=f(r-ct)$, despejando para $\psi$:

$\psi ={\frac {f(r-ct)}{r}}$

Una función de este tipo representa una onda esférica viajando hacia afuera del centro con una velocidad c. A diferencia de las ondas planas que se propagan con amplitud constante, el factor (1/r) nos dice que la amplitud de las ondas esférica decrece. Este efecto tiene una sencilla explicación física. Sabemos que la densidad de energía de una onda depende del cuadrado de la amplitud de la onda. Mientras la onda se esparce, la energía se esparce sobre áreas más y más grandes, proporcionales a $r^{2}$. Si la energía total es conservada, la densidad de energía debe caer como ${\frac {1}{r^{2}}}$ , y la amplitud de la onda debe decrecer como (1/r).

Mencionaremos ahora un último punto importante. En nuestra solución, $\psi$ es infinita en el origen. Eso es un poco raro, además de que nos gustaría una solución donde todo sea suave. Físicamente, nuestra solución representa una situación en la que tenemos una fuente en el origen. Esto es algo que no resulta extraño, ya que, para que existan ondas esféricas emergiendo desde el origen, debe haber una fuente en ese origen que las produzca.