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Clasificación de EDP y condiciones de frontera

En esta parte vamos ha hablar sobre los diferentes tipos de EDP y sobre sus soluciones. Se dice que una solución existe, única y estable solo cuando podemos especificar información adicional, que normalmente vienen dadas en la forma de condiciones de frontera.

Condiciones de frontera

Las condiciones de frontera especifican la función $\ u$ y algunas de sus derivadas parciales en toda o alguna parte de la frontera de una región. Las soluciones de las EDP deben estar dentro de el espacio de dichas condiciones. Para garantizar que una EDP exista, sea única y estable depende del tipo de EDP y de sus condiciones de frontera. En la realidad los problemas físicos, para estar bien planteados, necesitan que las soluciones sean únicas y estables. Al hablar de únicas nos referimos a que la descripción matemática de un problema no tenga muchas soluciones por el contrario que sea solo una y al ser estables, las soluciones deben sufrir pequeños cambios cuando se han impuesto valores de frontera.

Tipos de EDP

Vamos a determinar cuatro tipos de EDP que son de intéres fundamental:

Ecuación	Nombre	Tipo
$\nabla ^{2}u=0$	Laplace	Elíptica
${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}u$	Onda	Hiperbólica
${\frac {\partial u}{\partial t}}=k\nabla ^{2}u$	Difusión	Parabólicas
$\nabla ^{2}u=ku$	Helmholtz	Elíptica

Si tenemos una ecuación de segundo orden del tipo

$Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0\quad$

• se dice que es elíptica si la matriz $Z={\begin{bmatrix}A&B\\B&C\end{bmatrix}}$ tiene un determinante mayor a 0.
• se dice que es parabólica si la matriz $Z={\begin{bmatrix}A&B\\B&C\end{bmatrix}}$ tiene un determinante igual a 0.
• se dice que es hiperbólica si la matriz $Z={\begin{bmatrix}A&B\\B&C\end{bmatrix}}$ tiene un determinante menor a 0.

Las EDP tienen otro tipo de clasificación de acuerdo a:

1. el orden, viene dada por la derivada más alta de la ecuación.
2. la linealidad, si la función F de la EDP es función lineal de todos sus argumentos excepto de las variables independientes.
3. la homogeneidad, si la EDP es lineal y si sus soluciones obedecen el principio de superposición.

EDP Cuasilineales

En esta parte vamos a determinar por qué debemos imponer tales condiciones de frontera en EDP y qué información hay en la frontera que se da en una superficie $S(x_{1},x_{2},...,x_{N})=0$ de modo que cierta EDP tenga una solución única y estable.

Se dice que una EDP es cuasilineal si los coeficientes de los términos con el máximo número de derivadas son independientes de $\ u$, de modo que esos términos son lineales en $\ u$, pero los términos menores si pueden depender de $\ u$.

En un caso general tenemos la EDP:

$\sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}a_{mn}\left(x_{1},...,x_{N}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{m}\partial x_{n}}}+H\left(\lambda _{1},...,\lambda _{N},u_{1},{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},...,{\frac {\partial u}{\partial x_{N}}}\right)\right)$

donde $a_{mn}\left(x_{1},...,x_{N}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{m}\partial x_{n}}}\right)$ es la parte principal de la EDP y $H\left(\lambda _{1},...,\lambda _{N},u_{1},{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},...,{\frac {\partial u}{\partial x_{N}}}\right)$ es el argumento que no necesariamente debe ser lineal.

Si tomamos un punto $(x_{1},...,x_{N})$, al evaluar $a_{mn}$ se obtiene un arreglo simétrico de $N\times N$ de números reales, y así podemos clasificar también a las EDP al calcular el espectro de valores propios de la matriz. Entonces en el punto $\ (x_{1},...,x_{N})$ la EDP se dice que es:

1. Elíptica: si todos los $\lambda \neq 0$ y tienen el mismo signo,
2. Hiperbólica si tiene una solución para $\lambda$ pero de signos diferentes,
3. Parabólica si al menos uno de los valores propios es cero.

Ejemplo

Para clarificar mejor esta clasificación podemos tener un ejemplo, tenemos la siguiente parte principal de una EDP:

$\ 4u_{xx}+u_{yy}+2u_{yz}+u_{zz}$

de donde $u_{ij}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}$ con $\ (x_{1},x_{2},x_{3})=(x,y,z)$, asi podemos calcular los valores propios mediante la matriz $\ a_{mn}$:

$a_{mn}={\begin{pmatrix}4&0&0\\0&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}}$

si $\ (a_{mn}-\lambda I)=0$, tenemos que:

${\begin{pmatrix}4-\lambda &0&0\\0&1-\lambda &1\\0&1&1-\lambda \end{pmatrix}}=(4-\lambda )(1-\lambda )(1-\lambda )=0$

$\ (4-\lambda )(\lambda ^{2}-2\lambda )=0$

obtenemos los valores propios: $\ \lambda _{1}=4$, $\ \lambda _{2}=0$ y $\ \lambda _{3}=2$ de lo que podemos concluir que la EDP es parabólica.

Condiciones de frontera para varios tipos de ecuaciones

En esta sección vamos a examinar la conexión entre la EDP y las condiciones de frontera necesarias. Existen tres tipos de condiciones de frontera: la condición de frontera de Dirichlet, la condición de Neunamm y la de Cauchy que suele decirse que concentra a las dos anteriores.

Condición de frontera de Dirichlet

Para una EDP en el dominio $\Omega \subset R^{n}$ esta dada la función $\ u(x_{1},...,x_{N})$ en la superficie.

Condición de frontera de Neumann

Tomando en cuenta la misma función se conoce, en cada punto de la frontera, la derivada normal a la función de frontera ${\frac {\partial u}{\partial n}}$ en la superficie. La derivada normal esta definida así:

${\frac {\partial u}{\partial n}}=\nabla u(x_{1},...,x_{N})\cdot {\vec {n}}$

Condición de frontera de Cauchy

Como se dijo anteriormente, ésta condición abarca las dos anteriores. Suele ser la más general pero a menudo, al momento de resolver EDP, nos brinda mucha información que puede complicar los cálculos en vez de simplificarlos. Así, se tiene condiciones de frontera de Cauchy cuando se tiene la función en la superficie y cuando se tiene la derivada normal a dicha superficie.

Superficies características

Algunas EDP tienen asociadas ciertas superficies llamadas características. Mediante estas superficies podemos encontrar la soluciones para nuestras EDP, reduciéndolas a simples EDOs donde su solución generalmente se limita a integrar y a aplicar las condificiones de frontera. Cuando estas superficies existen deben compararse con las condiciones de frontera y comprobar que son aplicadas. Se debe tomar en cuenta cuando las condiciones de frontera son siempre u ocacionalmente tangentes a la superficie característica.

Pueden existir hipersuperficies con la propiedad de que en todo lugar de ellas las condiciones de frontera de Cauchy junto con la EDP no son suficientes para obtener las derivadas de orden superior de una función $\ u(x_{1},...,x_{N})$, de modo que no es posible hacer un desarrollo en series de Taylor alrededor de una curva. A éstas hipersuperficies se las llama superficies características.

Así al tener derivadas de dicha función $\ u$ junto con las condiciones de Cauchy en una hipersuperficie dada $\ S(x_{1},...x_{N})=0$, ésta nos permite hallar todas las derivadas de grado superior de $\ u$. El problema está en que sea en una superficie característica o en una superficie tangente a ésta las condiciones de frontera de Cauchy no son apropiadas para resolver las EDP.

Para clarificar éste método vamos a introducir un ejemplo: Sea $\ x_{0}$ un punto en la frontera $\ X=X_{0}+\epsilon$ y

$u(x)=u(x_{0})+(x-x_{0}){\frac {du}{dx}}|_{x=x_{0}}+{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2!}}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}|_{x=x_{0}}+...+{\frac {(x-x_{0})^{n-1}}{(n-1)!}}{\frac {d^{n-1}u}{dx^{n-1}}}|_{x=x_{0}}+...$

Podemos asumir condiciones de frontera de Cauchy a lo largo de una curva C en el plano xy definida por una ecuación paramétrica $X=X(s)$ y $Y=Y(s)$. Tenemos:

$\ u(x,y)=u(X(s),Y(s))=\phi (s)$

${\frac {\partial u}{\partial }}={\vec {n}}\cdot \nabla u=\Psi (s)$

donde ${\vec {n}}$ es el vector unitario, s mide la distancia a lo largo de la curva y ${\frac {\partial u}{\partial s}}$ esta en la dirección tangente de la curva.

Si tenemos una secuencia de derivadas de la función en un punto de la frontera y una solución analítica de EDP en la vecindad de ese punto existe, equivale a construir una solución única y analítica de EDP alrededor de ese punto. Así vamos a obtener la derivada en la dirección tangente:

${\frac {\partial u}{\partial s}}={\frac {d}{ds}}[X(s),Y(s)]={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dX(s)}{ds}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {dY(s)}{s}}$

y

${\frac {\partial u}{\partial n}}={\vec {n}}\cdot \nabla u={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dy}{ds}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}$

a partir de estas dos ecuaciones podemos sacar su determinante:

${\begin{vmatrix}{\frac {dx}{ds}}&{\frac {dy}{ds}}\\{\frac {dy}{ds}}&{-{\frac {dx}{ds}}}\end{vmatrix}}=-\left({\frac {dx}{ds}}\right)^{2}-\left({\frac {dy}{ds}}\right)^{2}=-1\neq 0$

lo que nos dice que esta EDP tiene solución única y de la forma:

$u(x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }u_{mn}(x-x_{0})^{m}(y-y_{0})^{n}$

$u_{mn}={\frac {1}{m!n!}}{\frac {\partial ^{m+n}u}{\partial x^{m}\partial y^{n}}}$ con $x=x_{0}$ $y=y_{0}$

queremos ver si podemos determinar en forma única los $\ u_{mn}$ usando EDP y condiciones de frontera. Por lo que necesitamos las derivadas de orden superior de la función $\ u(x,y)$ en $\ x_{0}$,$\ y_{0}$ dado $\ u,{\frac {\partial u}{\partial x}},{\frac {\partial u}{\partial y}}$ a lo largo de la curva y de la EDP

${\frac {d}{ds}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial s}}$

${\frac {d}{ds}}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)={\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}{\frac {dy}{ds}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}{\frac {\partial x}{\partial s}}$

$A(x,y){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B(x,y){\frac {\partial ^{2}y}{\partial x\partial y}}+C(x,y){\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+H=0$

Constituyen un sistema de ecuaciones algebraicas con respecto a las segundas derivadas parciales. Para saber si la solución es única debemos obtener un determinante diferente de cero para con ésto poder construir las derivadas de orden superior:

${\begin{vmatrix}A&2B&C\\{\frac {dx}{ds}}&{\frac {dy}{ds}}&0\\0&{\frac {dx}{ds}}&{\frac {dy}{ds}}\end{vmatrix}}=A\left({\frac {dy}{ds}}\right)^{2}+C\left({\frac {dx}{ds}}\right)^{2}-2B{\frac {dx}{ds}}{\frac {dy}{ds}}$

Cuando el determinante es cero en $x_{0}$,$y_{0}$ la solución no es única y $\ u_{mn}$ no puede calcularse. Pero si el determinante es cero a lo largo de la curva, ésto nos indica que es una curva característica. La ecuación que obtenemos es una forma cuadrática de la cual podemos sacar el discriminante y ésto nos puede ayudar a saber cuantos tipos de curvas características tenemos:

• si $B^{2}-AC>0$ tenemos 2 conjuntos de curvas características, en una ecuación hiperbólica.
• si $B^{2}-AC=0$ tenemos 1 conjunto de curvas características, en una ecuación parabólica.
• si $B^{2}-AC<0$ no tenemos conjuntos de curvas características, en una ecuación elíptica.

Reglas para las EDP

Definidas las condiciones de frontera podemos indicar en que EDP se pueden aplicar:

1. Elípticas: en una hipersuperficie cerrada se tiene las condiciones de frontera de Dirichlet y de Neumann.
2. Parabólicas: en una hipersuperficie abierta se tienen las condiciones de frontera de Dirichlet y de Neumann. Se obtiene una solución estable solo en un lado de la hipersuperficie.
3. Hiperbólicas: se tienen condiciones de frontera de Cauchy en una hipersuperficie abierta infinita que no sea tangente a la superficie característica o si la hipersuperficie es finita se tienen condiciones de Cauchy junto con las de Dirichlet y Neumann en otra hipersuperficie.

Ecuación de Onda y condiciones de frontera

Como un ejemplo extendido acerca de las conficiones de frontera y sobre las ecuaciones diferenciales parciales en general trataremos el caso de la ecuación de onda, cuya ecuación es:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0$

(1)

De lo dicho anteriormente podemos ver que tipo de ecuación es mirando su discriminante:

$\ B^{2}-AC=c^{2}>0$

de donde concluimos que es hiperbólica.

Sabemos que las curvas características son de la forma: ${\frac {dx}{dt}}=\pm c$ de donde tenemos $x=\pm ct+cte$. Así podemos encontrar una transformación de coordenadas de la forma:

$\ x-ct=\xi$

(2)

$\ x+ct=\eta$

(3)

despejando en x y en t:

$t={\frac {\eta -\xi }{2c}}$

(4)

$x=\xi +{\frac {\eta -\xi }{2}}$

(5)

Para ecuaciones hiperbólicas, a menudo es más fácil de analizar en éste nuevo sistema de coordenadas, que usualmente son llamadas coordenadas naturales. Existen formas canónicas para las EDP cuasilineales con éstas coordenadas naturales, así tenemos que:

Tipo de EDP	Forma canónica
Elíptica	$\ u_{\xi \xi }+u_{\eta \eta }+H(\xi ,\eta ,u,u_{\eta },u_{\xi })=0$
Parabólica	$\ u_{\xi \xi }+H(\xi ,\eta ,u,u_{\eta },u_{\xi })=0$
Hiperbólica	$\ u_{\xi \xi }-u_{\eta \eta }+H(\xi ,\eta ,u,u_{\eta },u_{\xi })=0$
	$\ u_{\xi \eta }+H(\xi ,\eta ,u,u_{\eta },u_{\xi })=0$

Continuando con nuestro ejemplo, obtenemos entonces que $\ v(\xi ,\eta )=u(x,y)$, de donde las derivadas son:

$\ u_{x}=v_{\eta }\eta _{x}+v_{\xi }\xi _{x}=v_{\eta }+v_{\xi }$

$\ u_{xx}=v_{\eta \eta }+2v_{\eta \xi }+v_{\xi \xi }$

(6)

$\ u_{t}=v_{\eta }\eta _{t}+v_{\xi }\xi _{t}=cv_{\eta }-cv_{\xi }$

$\ u_{tt}=c^{2}(v_{\eta \eta }-2v_{\eta \xi }+v_{\eta \eta })$

Remplazando (6)

en (1)

obtenemos que:

$\ u_{tt}-c^{2}u_{xx}=-4c^{2}v_{\eta \xi }=0$

$\ v_{\eta \xi }=0$

(7)

de donde la solución general para (7)

ecuación es:

$\ v=h(\xi )+g(\eta )$

(8)

y si regresamos a las variables originales $\ (x,y)$ obtenemos la solución general a la ecuación de onda:

$\ u(x,y)=g(x+ct)+h(x-ct)$

(9)

donde q y h son arbitrarias. Cabe destacar que éstas funciones se mueven ambas con velocidad c pero en sentidos contrarios; mientras g se mueve hacia la izquierda, h se mueve hacia la derecha.

Solución de D'Alembert

En nuestro ejemplo vamos a suponer que tenemos condiciones de frontera de Cauchy en un intervalo $\ x_{B}\leq x\leq x_{A}$ en un tiempo igual a cero, así:

$\left.{\begin{matrix}u(x,t)|_{t=0}=a(x)\\u_{t}(x,y)|_{t=0}=b(t)\end{matrix}}\right\}O\leq x\leq L$

(10)

en $\ x_{B}\leq x\leq x_{A}$. Con lo que podemos usar estas funciones $\ a(x)$ y $\ b(x)$ para determinar a $\ g$ y $\ h$ en éste rango y así determinar $\ u(x,y)$ en alguna parte del espacio-tiempo. Posteriormente se demostrará que uno puede encontrar que:

$u(x,t)={\frac {1}{2}}\left(a(x+ct)+a(x-ct)+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}b(x)dx\right)$

(11)

con lo que (10)

queda así:

$x_{B}\leq x\pm ct\leq x_{A}$

(12)

y al graficar estas curvas obtenemos que en área interior de éstas la solución es única y estable. Si a $\ x_{B}$ y $\ x_{A}$ se les hace tender al infinito, para todo instante de tiempo existe una solución única y estable.

Imagen en preparación

Para el caso en que la curva característica de las condiciones de frontera de frontera de Cauchy sea una curva tangente $\ \Sigma$ desde A hasta B, donde T es un punto especial tangente a ambas, la solución de la EDP puede ser determinada de dos formas distintas:

• usando condiciones de frontera de Cauchy en dos puntos $\ \alpha$ y $\ \beta$ de $\ \Sigma _{\alpha \beta }$.
• o usando condiciones de frontera de Cauchy en otros dos puntos de $\ \Sigma$, $\ \alpha$ y $\ \gamma$.

Notecé que las dos formas son independientes y no hay razón para que los dos esquemas den una solución consistente. Por lo que se dice que en general no hay solución. Por lo que, para obtener una solución, debemos dar menos información que la proporcionada por Cauchy y se debe escoger las condiciones de Dirichlet o de Neumann en lugar de las de Cauchy.

Entonces debemos determinar la solución usando el segmento donde se da condiciones de Cauchy y éstas son consistentes con la solución generada por el otro segmento. Entonces se obtiene la solución permitiendo que la información que falta deba ajustarse adecuadamente. En (10)

se dió condiciones de Cauchy, por lo que ahora vamos a dar condiciones de Dirichlet:

$\left.{\begin{matrix}u(x,y)|_{x=0}=f(t)\\u(x,y)|_{x=L}=f^{T}(t)\end{matrix}}\right\}O\leq t\leq \infty$

(13)

Imagen en preparación

Así obtenemos cuatro pasos a seguir para hallar una solución:

1. usar las condiciones de Cauchy en AB para producir una solución en ABC, usando D'Alembert
2. obtener las condiciones de Neumann en AD asegurando que junto con las de Dirichlet en AD producen una solución consistente en AC.
3. repetir el paso 2 para BE
4. usar las condiciones de Cauchy en DABE para producir una solución en DCEF.

y así podríamos continuar para obtener una solución única y estable para $\ O\leq x\leq L$ desde el tiempo cero en adelante.

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↑Resumen de ecuaciones diferenciales ordinarias

↓Separación de variables