Transwiki:Operaciones elementales con matrices

De Wikilibros, la colección de libros de texto de contenido libre.

Book important.svg

Esta página se ha identificado como una «hoja suelta» de algún wikilibro. Esta hoja se a marcado con la categoría Wikilibros:Hojas sueltas y se debe integrar al wikilibro correspondiente.

Contenido

[editar] Suma de matrices


Para dos matrices   A = \left( a_{ij} \right)   y   B = \left( b_{ij} \right)   de la misma dimensión   m \times n ,   la suma de   A   y   B   es la matriz de la misma dimensión   m \times n ,   dada por


A + B = \left( a_{ij} \right) + \left( b_{ij} \right) = \left( a_{ij} + b_{ij} \right)


[editar] Ejemplo


A + B = \left( \begin{array}[c]{ccc} a_{11 }& a_{12} & a_{13} \\ a_{21 }& a_{22} & a_{23} \\ a_{31 }& a_{32} & a_{33} \end{array} \right) + \left( \begin{array}[c]{ccc} b_{11 }& b_{12} & b_{13} \\ b_{21 }& b_{22} & b_{23} \\ b_{31 }& b_{32} & b_{33} \end{array} \right) = \left( \begin{array}[c]{ccc} a_{11 } + b_{11 } & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13} \\ a_{21 } + b_{21 } & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23} \\ a_{31 } + b_{31 } & a_{32} + b_{32} & a_{33} + b_{33} \end{array} \right)


[editar] Propiedades de la suma de matrices


1. Asociativa


A + \left( B + C \right) = \left( A + B \right) + C


2. Elemento neutro. La matriz nula,   0,   de la dimension correspondiente es el elemento neutro para la suma, ya que:


A + 0 = 0 + A = A


3. Elemento opuesto. Para la matriz   A   existe otra matriz que denotamos por   − A   y que llamamos matriz opuesta de   A,   que cumple:


A + \left( -A \right) = 0


4. Comutativa


A + B = B + A


[editar] Producto de un numero por una matriz


Para un número real   k   y una matriz   A = \left( a_{ij} \right)   de dimension   m \times n ,   el producto de un número real por una matriz es la matriz de la misma dimension   m \times n   dada por


k \cdot A = k \cdot \left( a_{ij} \right) = \left( k \cdot a_{ij} \right)


Es decir, el producto   k \cdot A   se obtiene multiplicando el numero real por cada uno de los elementos de la matriz.


[editar] Ejemplo


k \cdot A = k \cdot \left( \begin{array}[c]{cc} a_{11 }& a_{12} \\ a_{21 }& a_{22} \\ a_{31 }& a_{32} \end{array} \right) = \left( \begin{array}[c]{cc} k \cdot a_{11 }& k \cdot a_{12} \\ k \cdot a_{21 }& k \cdot a_{22} \\ k \cdot a_{31 }& k \cdot a_{32} \end{array} \right)


[editar] Producto de matrices


El producto de dos matrices   A = \left( a_{ij} \right)   de dimension   m \times n   y   B = \left( b_{ij} \right)   de dimension   n \times p ,   es la matriz   A \cdot B   dada por:


A \cdot B = \left( c_{ij} \right)


con


c_{ij} = \sum_{j = 1}^n a_{ij} \cdot b_{jk}


Es decir, cada elemento   cik   se obtiene multiplicando la fila i-ésima de la primera matriz por la columna k-ésima de la segunda matriz.


[editar] Ejemplo


\left( \begin{array}[c]{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}[c]{cc} ~~7 & ~~8 \\ ~~9 & ~~0 \\ -1 & -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}[c]{cc} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot \left( -1 \right) & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot \left( -2 \right) \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot \left( -1 \right) & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot \left( -2 \right) \end{array} \right)


[editar] Propiedades del producto de matrices


1. El producto de matrices cuadradas es asociativo:


A \cdot \left( B \cdot C \right) = \left( A \cdot B \right) \cdot C


2. El producto de matrices cuadradas de orden   n   posee como elemento neutro la matriz unidad o identidad   I   de orden   n   ya que:


A \cdot I = I \cdot A = A


3. El producto de matrices cuadradas es distributivo respecto de la suma de matrices:


A \cdot \left( B + C \right) = A \cdot B + A \cdot C


[editar] Fuentes

  • Parte de este artículo incorpora material de wikillerato, publicado bajo licencia GFDL.
Obtenido de "http://es.wikibooks.org/wiki/Transwiki:Operaciones_elementales_con_matrices"
Herramientas personales