Transwiki:Cálculo:Límites

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Introducción[editar]

Noción Intuitiva de límite[editar]

Ahora que hemos hecho una revisión de las funciones, llegamos a una idea central del cálculo, el concepto de límite.

Empecemos con una función f(x) = x2. Sabemos que f(2) = 4. pero seamos un poco ingeniosos y cremos un "hueco" en x = 2. Podemos hacer esto variando la función sutilmente, así


f(x) = \frac{x^2(x-2)}{x-2}.

Esta última función es igual a x^2 en todas partes excepto por x=2 donde no existe. Ahora, un hecho curioso es que cuando x se acerca más a 2, entonces f(x) se acerca más a 4. Esto es un hecho útil y podemos expresarlo en símbolos como


\qquad\lim_{x\to 2} f(x) = 4.

Note que no importa qué es f(x) en x=2, en este caso la hemos dejado indefinida, pero podría ser 2 o 15 o 10000000. Esto no importa, la idea de límite es que usted puede hablar acerca de cómo se comporta una función cuando se hace más y más cercana a un valor, sin hablar de cómo se comporta en ese valor. Ahora usando variables podemos decir que L es el límite de una función f(x) cuando a x se aproxima a c si f(x) ≈ L cuando x ≈ c.

Decimos que el límite, cuando x se aproxima a c, de f(x) es L, si L existe como un número finito. Y lo expresamos algebráicamente como sigue

\lim_{x\to c} f(x) = L.

Intuitivamente, el límite L es simplemente el número al que f(c) se hace más y más cercana cuando x se aproxima a c, pero f(c) no necesita estar definido.

Ahora esta idea de hablar acerca de una función cuando ella se aproxima a algo fue un descubrimiento mayor, porque nos permite hablar de cosas que antes no hubiéramos podido. Por ejemplo, consideremos una función 1/x. Cuando x se hace muy grande, 1/x se hace muy pqueña. 1/x se hace más y más cercano a cero, entre más grande se haga x. Sin los límites es muy difícil hablar de este hecho, porque 1/x nunca se hace cero. Pero el lenguaje de los límites existe precisamente para permitirnos hablar de acerca del comportamiento de una función cuando esta se aproxima a algo, sin preocuparnos acerca de que nunca llegará allí. Así que podemos decir


\qquad\lim_{x\to \infin} \frac{1}{x} = 0.

Aplicación al cálculo de la velocidad instantánea[editar]

Para ver el poder del límite, vayamos atrás al ejemplo del auto en movimiento del que hablamos en la introducción. Suponga que tenemos un auto cuya posición es lineal con el tiempo. Queremos encontrar la velocidad. Esto es fácil de hacer desde el álgebra, simplemente tomamos la inclinación de la recta distancia contra tiempo para este auto y esta es nuestra velocidad.

Pero desafortunadamente (o tal vez afortunadamente si usted es un profesor de cálculo), las cosas en el mundo real no siempre viajan en agradables líneas rectas. Los carros aceleran, desaceleran, y generalmente se comportan en formas que hacen difícil calcular sus velocidades. (figura 2).

Ahora lo que realmente queremos en escontrar la velocidad en un momento dado. (figura 3). El problema es que para encontrar la velocidad necesitamos dos puntos, mientras que en cualquier tiempo dado, sólo tenemos un punto. Podemos, por supuesto, encontrar siempre la velocidad promedio de auto, dados dos puntos en el tiempo, pero queremos encontrar la velocidad del auto en un momento preciso.

Acá es donde el truco básico del cálculo diferencial entra. Elegimos un par de puntos en nuestra gráfica de posición contra tiempo, uno en donde queremos hallar la velocidad instantánea y otro en cualquier otro sitio y luego trazamos una línea entre ellos. Empezamos a acercar cada vez más y más este último punto al primero y a trazar sucesivas líneas, entre ellos. En la medida en que los puntos se hacen más cercanos, la pendiente de la línea se acerca a la velocidad instantánea.

Definición formal de límite[editar]

La definición formal de límite ha tenido tradición de ser algo complicada para los estudiantes que la ven por primera vez. Vamos a presentarla primero y luego veremos detalladamente que es lo que nos dicen en forma tan suscinta.

Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L o

\lim_{x\to c} f(x) = L.

si para todo ε > 0 existe un δ > 0, tal que si 0 < |x - c| < δ, entonces |f(x) - L| < ε

Miremos en principio las normas o valores absolutos de la anterior expresión. Sobre la recta real, un valor absoluto de un número es la diferencia entre este número (ya sea positivo o negativo) y el origen. -3 está a tres unidades de distancia de cero, por tanto |-3| = 3. De modo análogo, el valor absoluto de una resta corresponde a la distancia entre los dos números involucrados en ella. Démonos cuenta que ε y δ en la definición anterior nos delimitan la distancia tanto entre los valores de f(x) y L, como entre los de c y x.

Es decir, una vez escogida una distancia entre x y c menor que δ pero mayor que cero (pues c se acerca a x pero no lo alcanza), podemos garantizar que la distancia entre f(x) y L es menor a ε Independientemente del ε elegido.

Límites laterales[editar]

Obsérvese que sobre la recta real estamos en condiciones de acercarnos a una valor particular de x bien sea por valores más grandes (a la derecha) o por valores más pequeños (a la izquierda). Debido a que existen funciones que no se comportan del mismo modo a la izquierda y a la derecha de un valor dado, el concepto de límite lateral puede ayudarnos a dilucidar este tipo de comportamiento. Consideremos por ejemplo la función parte entera de x o escalón unitario (usada frecuentemente para exponer la idea de límites laterales), denotada por E(x) y que se define de la siguiente forma:

E(x) = [x], donde [x] es el mayor [[:m:w:es:N%FAmero_entero|número entero]] inferior o igual a x, tal que, E(x) ≤ x < E(x) + 1.


Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Consideremos ahora un valor entero particular, por ejemplo 1. En la medida en que nos acercamos a 1 por la izquierda nos damos cuenta que los suscesivos valores de E(x) son iguales a cero, y en la medida en que nos acercamos a 1 por la derecha los valores son iguales a uno. La idea de acercarnos suscesivamente a un valor es la que introduce la noción de límite lateral. A continuación introduciremos las nociones formales de los límites laterales por izquierda y por derecha.

Límite por la derecha[editar]

El límite por la derecha de f(x) cuando x tiende a a por la derecha es igual a L, si ∀ε>0, existe un δ > 0 tal que si 0 < x - a < δ, entoces |f(x) - L| < ε. Lo anterior se denota como:

\lim_{x \to a^+}f(x)= L

Límite por la izquierda[editar]

El límite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a a por la izquierda es igual a L, si ∀ε>0, existe un δ > 0 tal que si 0 < a - x < δ, entonces |f(x) - L| < ε. Lo anterior se denota como:

\lim_{x \to a^-}f(x)= L

TEOREMA Existe el limite si y solo si los dos limites laterales(por la derecha y por la izquierda) ambos coiniden

Nota:aunque también es valido si consideramos que le limite vale +∞ o -∞ en lugar de 1

Teoremas fundamentales sobre límites[editar]

Sean f y g funciones con límites en c, n un [[:m:w:es:N%FAmero_entero|número entero]] y k una constante. Se tiene entonces que:

  • El límite de una constante es la constante:
\lim_{x \to c}k= k
  • \lim_{x \to c}x= c
  • El límite de una constante por una función es igual a la constante por el límite de la función:
\lim_{x \to c}k f(x)= k \lim_{x \to c} f(x)
  • El límite de una suma es igual a la suma de los límites:
\lim_{x \to c}[f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) \pm \lim_{x \to c} f(x)
  • El límite de un producto es igual al producto de los límites:
\lim_{x \to c}[f(x) \cdot g(x)] = [\lim_{x \to c}f(x)]\cdot[\lim_{x \to c}g(x)]
  • El límite de un cociente es igual al cociente de los límites, siempre y cuando el denominador evaluado en el límite no sea cero.
\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to c}f(x)}{\lim_{x \to c}g(x)}, siempre y cuando \lim_{x \to c}g(x) \ne 0
  • El límite de la potencia de una función es igual a la potencia enésima del límite de la función:
\lim_{x \to c}[f(x)]^n = [\lim_{x \to c}f(x)]^n
  • El límite de un radical enésimo de una función es igual al radical enésimo del límite de la función:
\lim_{x \to c}\sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to c}f(x)}

Teorema de Intercalación (Teorema del Emparedado)[editar]

El teorema de intercalación, más coloquialmente llamado teorema del emparedado, es útil cuando queremos hallar el límite de una función que se encuentra "confinada" por dos funciones que ya conocemos.

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Límites de funciones trigonométricas[editar]

x^2+1/xInsert formula here hola gil

Límites infinitos[editar]

Considere que simplemente los valores de 0,1,2,3,4,5 .... permitiendo de esta manera que cresca o decresca pero sin dejar atras la definicion de limite entonces en conclusion se podria determinar que la función se acercaría a el limite por un infinito de números pero nunca tocando el limite

Teorema1

Sea f una función que esta definida en todo número de algun interalo abierto (a+∞) el limite de f(x) cuando x crece sin limite, es L lo que se escribe como:

\lim_{x\to +\infty} f(x) = L


Teorema2 Sea f una función que esta definida en todo número de algun intervalo abierto(-∞,a). El limite de f(x) cuando x decrece sin limite, es L, lo que se escribe como


\lim_{x\to -\infty} f(x) = L


Teorema3

Sea n cualquier entero positivo,entonces

\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x^n} =0
\lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x^n} =0

Límites al infinito[editar]

Asíntotas[editar]

Las asíntotas son rectas a las cuales una [[:m:w:es:Funci%F3n_matem%E1tica|función]] se aproxima indefinidamente, cuando x o f(x) tienden al infinito.


Usando la notación de límite para describir asíntotas[editar]

Ahora considere la función

 g(x) = \frac {1}{x}.

Cuál es el límite cuando x se aproxima a cero? El valor de g(0) no existe puesto que

\qquad g(0) = \frac {1}{0}

no está definido

Pero es intuitivamente claro que podemos hacer la función g tan grante como queramos, escogiendo un x suficientemente pequeño. Por ejemplo para hacer g(x) igual a un millón, escojemos que x sea 10-6. En este caso decimos que podemos hacer g(x) arbitrariamente grande (tan largo como queramos tomando un x que sea suficientemente cercano a cero, pero no igual y expresamos esto algebráicamente como sigue

\lim_{x\to 0^+} g(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac {1}{x} = \infty

Note que hemos usado la notación de límite por derecha, ya que el límite, propiamente dicho no existe de hecho en x = 0 (dado que el límite por la derecha y por la izquierda son distintos.

De igual manera podemos considerar que en la medida en que x se hace más y más grande g(x) tiende a cero, pero nunca lo alcanza. Esto no permite introducir la noción de asíntotas horizontales y verticales.

Asíntota Vertical[editar]

Una asíntota vertical se da en x = c, para una función f(x) siempre que:

  1. \lim_{x\to c^-} f(x) = \pm \infty
  2. \lim_{x\to c^+} f(x) = \pm \infty

Vale la pena hacer énfasis en que en c el límite la función puede ser o bien infinito positivo o bien infinito negativo (cualquiera de ellos, pero no ambos), para que tegamos una asíntota vertical y que esto se puede cumplir cuando nos acercamos a c bien sea por la izquierda (primer caso) o bien por la derecha (segundo caso).

Asíntota Horizontal[editar]

Una asíntota horizontal es la recta y = b y se tiene siempre que:

  1. \lim_{x\to \infty} f(x) = b
  2. \lim_{x\to -\infty} f(x) = b

Continuidad de una función[editar]

En un punto[editar]

Ahora estamos listos para una definición formal de continuidad, que fue introducidad en nuestra revisión de funciones. La definición es simple: f(x) es continua en c si y sólo si


Definición de Continuidad
\lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c)

Note que la función o el límite o ambos podrían no estar definidos en c, en cuyo caso la ecuación no sería cierta, y por tanto f no es continua en c.

Teorema1
(f)+(g) Es continua en todos los reales

Teorema2

(f)-(g) Es continua en a todos los reales

Teorema3

(f)*(g) Es continua en a todos los reales

Teorema4

(f)\(g) Es continua en los reales considerando que g es diferente de 0

Ejemplo

al calcular

En intervalos abiertos y cerrados[editar]

INTERVALO ABIERTO

Se dice que una función es continua en un intervalo abierto si y sólo si es continuaen cada número del intervalo abierto

INTERVALO CERRADO

Se dice que una función, cuyo dominio contiene al intervalo cerrado [a.b], es continua en e intervalo cerrado [a,b] si y solo si es continua en en intevalo (a,b), así como continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b.


De funciones compuestas[editar]

Discontinuidades[editar]

Una discontinuidad es un punto donde una fucnión no es continua. Por ejemplo, la función f(x) = \frac {x^2-9} {x-3} se considera que tiene una discontinuidad removible en x = 3.

Por qué la llamamos 'removible'? Porque, si modificamos la función ligeramente, podemos eliminar la discontinuidad y hacer la función continua. En particular, podemos dividir la función para obtener f(x) = x + 3, excepto en x = 3. Si hacemos que f(x) sea 6 en ese punto, obtenemos la función continua:

g(x) = \left\{\begin{matrix} x + 3, & \mbox{si }x \ne 3 \\ 6, & \mbox{si }x = 3 \end{matrix}\right.

Pero x + 3 = 6 para x = 3, y así podemos simplificar la función a g(x) = x + 3. (Esta no es la misma que la función original, en la cual hay un punto extra en (3,6)). Así el límite en x = 3 es 6. De hecho, esta clase de simplificación es siempre posible con una discontinuidad removible en una función racional. Cuando el denominador es cero, podemos redefinir la función para obtener una función que es igual a la anterior, salbo por los nuevos puntos, donde previamente teníamos una división por 0. Y arriba se probó que el límite de esta función (puesto que es continua) es igual al límite de la función antigua.

chido..pues ma gustaria que pusieran unso ejemplos mas ilustrativos

Aplicaciones para aislar raíces[editar]

Encontrando límites[editar]

Ahora nos concentraremos en encontrar los límites, en lugar de probarlos. En las pruebas anteriores, empezamos con el valor del límite. Cómo encontramos dicho límite para empezar nuestras pruebas?

Primero, si la función es continua en un punto particular c, el límite es símplemente el valor de la función en c, debido a la definición de continuidad. Todas las funciones polinómicas, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales con continuas sobre sus dominios.

Si la función no es continua en c, entonces en muchos casos (como con las funciones racionales) la función es continua en todo el rededor, pero es discontinua en un punto aislado. En este caso, queremos encontrar una función similar, excepto que el "agujero" que antes representaba la discontinuidad ahora está "relleno". El límite de esta función en c será el mismo, como puede ser visto de la definición de límite. La función es la misa que la anterior excepto en el punto c. La definición de límite depende de f(x) sólo en los puntos donde 0 < |x - c| < δ. Cuando x c, la desigualdad es falsa, y así el límite en c no depende del valor de la función en c. Por tanto, el límite es el mismo. Y puesto que nuestra nueva función es continua, ahora podemos sólo evaluar la función en c como antes.

Finalmante, note que nuestro límite podría no existir del todo. Hay muchas formas en que esto puede ocurrir:


"Gap": There a is gap (more than a point wide) in the function where the function is not defined. As an example, in

f(x) = \sqrt{x^2 - 16}

f (x) does not have any limit when -4 ≤ x ≤ 4. There is no way to "approach" the middle of the graph. Note also that the function also has no limit at the endpoints of the two curves generated (at x = -4 and x = 4). For the limit to exist, the point must be approachable from both the left and the right. Note also that there is no limit at a totally isolated point on the graph.

"Salto": Se sigue de nuestra discusión prebia que si el gráfico salta de repente a un nible diferente (creando una discontinuidad), el límite no existe. Esto es ilustrado con la función escalón unitario (en la cual el valor de la salida es el entero más grande no mayor al valor de entrada).


Asíntota: En

f(x) = {1 \over x^2}

la gráfica se hace arbitrariamente alta cuando 'x' se aproxima a 0. El límite no existe.

Oscilación infinita: Las siguientes dos pueden ser un poco truculentas para visualizar. En esta, nos referimos a una gráfica que continuamente alcanza puntos arriba y abajo de una línea horizontal. De hecho hace esto infinitamente en la medida en que nos aproximamos a un cierto valor x. Esto significa a menudo que no hay límite, puesto que el gráfico nunca se establece en un valor particular. Sin embargo, si la altura (y profundidad) de cada oscilación disminuye cuando el gráfico se aproxima al valor x, de modo que las oscilaciones se hagan arbitrariamente pequeñas, entonces podría haber de hecho un límite.

EL uso de la oscilación naturalmente trae a la mente las funciones trigonométricas. Y, de hecho un ejemplo simplemente definido de este tipo de límites no existentes es

f(x) = \sin {1 \over x}.

In the plain old sine function, there are infinite number of waves as the graph heads out to infinity. The 1/x takes everything that in (1, ∞) and squeezes it into (0, 1). There we have it: infinite oscillation over a finite interval of the graph.

Incomplete graph: Let us consider two examples. First, let f be the constant function f(q)=2 defined for q a rational number. Then f is continuous: for let q_0 be rational. We show that f is continuous at q_0. Let \delta >0; then if we pick any \epsilon>0, then whenever q is a rational number within \epsilon of q_0, we have |f(q_0)-f(q)| = |2-2| = 0 < \delta. So f is indeed continuous at q_0.

Now let g be the similar-looking function defined on the entire real line. We let g take the value 2 for rational input and 0 for irrational input. Now g is continuous nowhere! For let x be a real number; we show that g isn't continuous at x. Let \delta=2; then if g were continuous at x, there'd be a number \epsilon such that whenever y was a real number at distance less than \epsilon, we'd have |g(x)-g(y)|<1. But no matter how small we make \epsilon we can find a number y within \epsilon of x such that |g(x)-g(y)|=2: for if x is rational, just pick y irrational and if x is irrational, pick x rational. Thus g fails to be continuous at every real number!

Note that these two examples show how important it is to get the domains of functions sorted out. f and g have extremely similar graphs, but their continuity properties are completely opposed.




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