Teoría de conjuntos/Teoría intuitiva de conjuntos/Unión e intersección de conjuntos

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1.3.1. Las operaciones entre conjuntos consisten en tomar ciertos elementos de uno y ciertos de otro para formar con ellos nuevos conjuntos. Así, por ejemplo, si \,x e \,y son dos conjuntos, la unión de \,x e \,y es el conjunto


x\cup y=\{a\mid a\in x o a\in y\}.


Esto es, x\cup y consiste de todos los elementos que están ya sea en \,x, ya sea en \,y, ya sea en ambos \,x e \,y. La unión se representa por el área sombreada en el diagrama siguiente:



Sean \,x, \,y y \,z conjuntos cualesquiera. Se cumplen las propiedades siguientes:

( U-1 ) x\cup x=x (idempotencia)

( U-2 ) x\cup\varnothing=x (identidad)

( U-3 ) x\cup y=y\cup x (conmutatividad)

( U-4 ) x\cup(y\cup z)=(x\cup y)\cup z (asociatividad)

( U-5 ) x\subseteq x\cup y

( U-6 ) x\subset y si y solo si x\cup y=y

Estas propiedades son fácilmente demostrables. Veamos la demostración de ( U-2 ) y ( U-6 ):


( U-2 ) Hay que demostrar que todo elemento de x\cup\varnothing es elemento de x (demostrar que x\cup\varnothing\subseteq x) y que, recíprocamente, todo elemento de x es elemento de x\cup\varnothing (demostrar que x\subseteq x\cup\varnothing). Si a\in x\cup\varnothing, entonces a\in x o a\in\varnothing, de lo que solo puede ser a\in x. Recíprocamente, si a\in x, entonces a\in x\cup\varnothing. Por tanto x\cup\varnothing=x.


( U-6 ) Supóngase que x\subseteq y pero que x\cup y\neq y. Entonces, en particular, existe a\notin y tal que a\in x\cup y, pero si esto es cierto, a\in x, lo que contradice el hecho de que x\subseteq y. Recíprocamente, si x\cup y=y, entonces de ( U-5 ) se sigue el resultado deseado.


1.3.2. La intersección de dos conjuntos \,x e \,y se define como el conjunto


x\cap y=\{a\mid a\in x\quad \mbox{y}\quad a\in y\}.


Es decir, x\cap y es el conjunto formado por todos los elementos que están tanto en \,x como en \,y. La intersección se representa por el área sombreada en el diagrama siguiente :

x\cap y


Sean \,x, \,y y \,z conjuntos cualesquiera

( I-1 ) x\cap x=x (idempotencia)

( I-2 ) x\cap\varnothing=\varnothing

( I-3 ) x\cap y=y\cap x (conmutatividad)

( I-4 ) x\cap(y\cap z)=(x\cap y)\cap z (asociatividad)

( I-5 ) x\cap y\subseteq x

( I-6 ) x\subseteq y si y solo si x\cap y=x


Además, se cumplen las siguientes leyes distributivas:

( UI-1 ) x\cup(y\cap z)=(x\cup y)\cap(x\cup z)

( UI-2 ) x\cap(y\cup z)=(x\cap y)\cup(x\cap z)


1.3.3. Si \,x e \,y son dos conjuntos tales que x\cap y=\varnothing (i.e. si \,x e \,y no tienen elementos en común) se dice que \,x e \,y son conjuntos disjuntos.


1.3.4. Las operaciones de unión e intersección pueden generalizarse. Si \,C es una colección (conjunto) de conjuntos, la unión de los conjuntos de \,C puede definirse como el conjunto


\bigcup_{x\in C}x=\{a\mid\mathrm{existe}\ x\in C\ \mathrm{tal}\ \mathrm{que}\ a\in x\}.


Así, a\in\bigcup_{x\in C}x si y solo si existe por lo menos un conjunto \,x en \,C que contenga al elemento \,a. Como caso particular, tenemos


\bigcup\{x,y\}=x\cup y.


1.3.5. De manera similar, la intersección de los conjuntos de una colección C\, se define por


\bigcap_{x\in C}x=\{a\mid\mathrm{para}\ \mathrm{todo}\ x\in C,\quad a\in x\}.


Por tanto, a\in\bigcap_{x\in C}x si a\in x para todo conjunto \,x de \,C (i.e. \bigcap_{x\in C}x consiste de los elementos que están en todo conjunto de \,C). Como caso particular, tenemos


\bigcap\{x,y\}=x\cap y.


1.3.6. Nótese que, de acuerdo a la definición anterior, si C=\varnothing, entonces, puesto que en ese caso x\in\varnothing implica a\in x para cualquiera que sea el conjunto \,x y el elemento \,a, el conjunto \bigcap C lo contiene todo.



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