Teoría de conjuntos/Teoría intuitiva de conjuntos/Notación de conjuntos y el conjunto vacío

De Wikilibros, la colección de libros de texto de contenido libre.
Saltar a: navegación, buscar

1.2.1. Si \,x es un conjunto cuyos elementos son a_1,a_2,\ldots\,a_n y solo ellos, es común representar a este conjunto \,x por

\{a_1,a_2,\ldots,a_n\},

si \,n no es un número muy grande.


1.2.2. Nótese que, de acuerdo con esa notación,

a\in x es equivalente a \{a\}\subseteq x.


1.2.3. Existe otra forma común de representar conjuntos. Si \,x es el conjunto de todos aquellos elementos \,a que verifican una propiedad \,\phi, entonces \,x se representa también por

\{a\mid\phi(a)\} .


1.2.4. Así, si \,\phi(a) es la propiedad \,a=a, entonces el conjunto

\{a\mid a=a\}

claramente contiene cualquier cosa.


1.2.5. Mientras tanto, si \,\phi(a) es la propiedad a\neq a, entonces el conjunto

\{a\mid a\neq a\}

no contiene nada. Este conjunto sin elementos lo llamaremos conjunto vacío, y lo representaremos por \varnothing. Tenemos que \varnothing\subseteq x para cualquiera que sea el conjunto \,x (pues esto sería falso sólo si existiera algún elemento en \varnothing que no estuviera en el conjunto \,x, lo cual es absurdo pues \varnothing no contiene nada).

Por otro lado,

x\subseteq\varnothing implica x=\varnothing

para cualquier conjunto \,x. Efectivamente, pues si fuera x\subseteq\varnothing y x\neq\varnothing, entonces \varnothing tendría por lo menos un elemento que no está en \,x, lo que es imposible.



Capítulo anterior: Conjuntos Capítulo siguiente: Unión e intersección de conjuntos