Teoría de conjuntos/Teoría intuitiva de conjuntos/Notación de conjuntos y el conjunto vacío

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1.2.1. Si $x$ es un conjunto cuyos elementos son $a_1,a_2,\ldots\,a_n$ y solo ellos, es común representar a este conjunto $x$ por

$\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ ,

si $n$ no es un número muy grande.

1.2.2. Nótese que, de acuerdo con esa notación,

$a\in x$ es equivalente a $\{a\}\subseteq x$ .

1.2.3. Existe otra forma común de representar conjuntos. Si $x$ es el conjunto de todos aquellos elementos $a$ que verifican una propiedad $φ$ , entonces $x$ se representa también por

$\{a\mid\phi(a)\}$ .

1.2.4. Así, si $φ(a)$ es la propiedad $a = a$ , entonces el conjunto

$\{a\mid a=a\}$

claramente contiene cualquier cosa.

1.2.5. Mientras tanto, si $φ(a)$ es la propiedad $a\neq a$ , entonces el conjunto

$\{a\mid a\neq a\}$

no contiene nada. Este conjunto sin elementos lo llamaremos conjunto vacío, y lo representaremos por $\varnothing$ . Tenemos que $\varnothing\subseteq x$ para cualquiera que sea el conjunto $x$ (pues esto sería falso sólo si existiera algún elemento en $\varnothing$ que no estuviera en el conjunto $x$ , lo cual es absurdo pues $\varnothing$ no contiene nada).

Por otro lado,

$x\subseteq\varnothing$ implica $x=\varnothing$

para cualquier conjunto $x$ . Efectivamente, pues si fuera $x\subseteq\varnothing$ y $x\neq\varnothing$ , entonces $\varnothing$ tendría por lo menos un elemento que no está en $x$ , lo que es imposible.

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