Teoría de conjuntos/Teoría intuitiva de conjuntos/Diferencia de conjuntos y conjuntos complementarios

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1.4.1 Si $x$ e $y$ son dos conjuntos cualesquiera, la diferencia de $x$ e $y$ es el conjunto $x - y$ (también simbolizado por $x \backslash y$ ) definido por

$x-y=\{a\mid a\in x$ y $a\notin y\}$ .

Es decir, $x - y$ consiste de todos los elementos que están en $x$ pero no en $y$ . Este conjunto se representa por el área sombreada en el siguiente diagrama:

Diferencia de

x

e

y

Ejercicio: Probar que $x$ e $y$ son conjuntos disjuntos si y solo si $x - y = x$ .

Sean $x$ , $y$ y $z$ conjuntos cualesquiera. Entonces

( D-1 ) $x-x=\varnothing$

( D-2 ) $x-\varnothing=x$

( D-3 ) $x-(x-y)=x\cap y$

( D-4 ) $x\cap(y-z)=(x\cap y)-(x\cap z)$

( D-5 ) $x-(y\cup z)=(x\cap y)-(x\cap z)$

( D-6 ) $x-(y\cap z)=(x\cup y)-(x\cup z)$

( D-7 ) $x-y\subseteq x$

( D-8 ) $x\subseteq y$ si y solo si $x-y=\varnothing$

1.4.2. Si $x 1$ es un subconjunto de $x$ , entonces el subconjunto de $x$ ,

$\mathcal{C}_x x_1=x-x_1$ ,

se dice conjunto complementario de $x 1$ en $x$ . En el siguiente diagrama se representa este conjunto como el area sombreada:

Complemento de

x 1

en

x

Sean $x$ e $y$ subconjuntos de un conjunto $u$ . Se cumplen

( C-1 ) $\mathcal{C}_u u=\varnothing$

( C-2 ) $\mathcal{C}_u \varnothing=u$

( C-3 ) $\mathcal{C}_\varnothing u=\varnothing$ (conmutatividad)

( C-4 ) $\mathcal{C}_u\mathcal{C}_u x=x$

( C-5 ) $x\cup\mathcal{C}_u x=u$

( C-6 ) $x\cap\mathcal{C}_u x=\varnothing$

( C-7 ) $\mathcal{C}_u(x\cup y)=\mathcal{C}_u x\cap\mathcal{C}_u y$

( C-8 ) $\mathcal{C}_u(x\cap y)=\mathcal{C}_u x\cup\mathcal{C}_u y$

( C-9 ) $x-y=x\cap\mathcal{C}_u y$

Los enunciados ( C-7 ) y ( C-8 ) se conocen como leyes de De Morgan.

1.4.3. En ocasiones, para evitar complejidades notacionales, escribiremos $\mathcal{C}x$ en lugar de $\mathcal{C}_y x$ cuando del contexto se sobreentienda cual es el conjunto $y$ .

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