Problemario de Señales y Sistemas/Señales Periódicas

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Problemario de Señales y Sistemas

Contenido

1 Señales Periódicas
2 Problemas
- 2.1 Problema 2 02 08
- 2.2 Problema #1

[editar] Señales Periódicas

En esta serie de problemas se busca que el estudiante se familiarice con el concepto período, frecuencia y suma de señales periódicas (cuando son señales sinusoidales, ¿puede extenderse a la multiplicación?.

[editar] Problemas

[editar] Problema 2 02 08

Para las señales que se listan a continuación determine cuáles son periódicas y cuáles no. Para las señales periódicas calcule su período y frecuencia (rad/s), su área absoluta, energía, potencia y valor RMS en un período. En todos los casos grafique la señal en el intervalo -6<t<6. Si hubiera señales complejas grafique parte real e imaginaria.

$y_1(t)=\sin(\frac{\pi}{3}t)+\sin(\frac{2\pi}{5}t)+\sin(2\pi t+\frac{\pi}{6})+\cos(10\pi t+\frac{\pi}{3}) \,$
$y_2(t)=\sin(2t)+(10+2i)\cos(2\pi t)+e^{jt} \,$
$y_3(t)=\sin(2\pi t)+\sin(\sqrt{2}\pi t) \,$

[editar] Problema #1

Para las señales que se listan a continuación determine cuáles son periódicas y cuáles no. Para las señales periódicas calcule su período y frecuencia (rad/s), su área absoluta, energía, potencia y valor RMS en un período. En todos los casos grafique la señal en el intervalo -6<t<6. Si hubiera señales complejas grafique parte real e imaginaria.

$x_1(t)=\sin(\frac{1}{3}t)+\cos(\frac{1}{2}t+\frac{\pi}{5})+\sin(2t+2) \,$
$x_2(t)=\sin(2\pi t)+e^{j5\pi t} \,$
$x_3(t)= \sin(3t)+\sin(\sqrt{3}t)+\sin(3\sqrt{3}t) \,$

[editar] Problema #1. Subproblema 1=

Realizado por Esteban Bacilio 05-37871

$x_1(t)=\sin(\frac{1}{3}t)+\cos(\frac{1}{2}t+\frac{\pi}{5})+\sin(2t+2) \,$

Se tienen w1=1/3; w2=1/2; w3=2;. Se puede ver que la razón de cualquier par de frecuencias individuales es una fracción racional => la señal es periódica.

La frecuencia natural wn es el MCD de las frecuencias individuales: wn=MCD(1/3,1/2,2)=1/6 rad/seg.

El período natural correspondiente Tn=2 $π,$ /wn=2 $π,$ /(1/6)=12 $π,$

La Potencia de la señal X1(t) es la suma de las potencias individuales:

$P = P_{1} + P_{2} + P_{3} = \frac{1}{Tn}\int_{0}^{Tn} \sin(\frac{1}{3}t)dt + \frac{1}{Tn}\int_{0}^{Tn} \cos(\frac{1}{2}t+\frac{\pi}{5}) dt + \frac{1}{Tn}\int_{0}^{Tn} \sin(2t+2)dt = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}[W] \,$

El valor rms de la señal: $x_{rms}=\sqrt(P)=\sqrt(\frac{3}{2}) \,$

Entonces la energía en un período Tn: $E = Tn.P = 18 [J] \,$

La gràfica de esta señal es la siguiente:

a) Para un tiempo entre -6 < t < 6

b) Para un tiempo entre -80 < t < 80 ( En donde podemos apreciar la frecuencia y periodo fundamental.

[editar] Problema #1. Subproblema 2=

Realizado por Esteban Bacilio 05-37871

$x_2(t)=\sin(2\pi t)+e^{j5\pi t} \,$

como $x_2(t)= e^{j5\pi t} = \cos(5\pi t) + j\cdot \sin(5\pi t) \,$

nos queda: $sin(2\pi t) + \cos(5\pi t) + j\cdot \sin(5\pi t) \,$

Parte real. Se tienen w1=2 y w2=5, entonces, como la razón de ambas frecuencias es un número racional: w1/w2=2/5 => la parte real de la señal es periódica.

La frecuencia natural wn de la parte real: $w_{n}=MCD(5\pi,2\pi)=\pi \,$ El período, Tn=2.