Matemáticas Bachillerato LOGSE/Resolución de triángulos

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Razones trigonométricas de un ángulo agudo[editar]

Archivo:Triangulo1.png Si miramos el triángulo de la izquierda podemos describir tres razones que son intrínsecas de los ángulos agudos, ya que las razones sólamente dependen del ángulo \alpha debido al teorema de Thales.

\sin \alpha = \frac { \mbox{longitud del cateto opuesto a } \alpha}{\mbox{longitud de la hipotenusa}} \rightarrow \sin \alpha =\frac{a}{c}

\cos \alpha = \frac { \mbox{longitud del cateto contiguo a } \alpha}{\mbox{longitud de la hipotenusa}} \rightarrow \cos \alpha =\frac{b}{c}

\tan \alpha = \frac { \mbox{longitud del cateto opuesto a } \alpha}{ \mbox{longitud del cateto contiguo a } \alpha} \rightarrow \tan \alpha =\frac{a}{b}

  • Gracias a estas definiciones podemos calcular razones trigonométricas aproximadamente dibujando y midiendo simplemente.
  • Estas razones trigonométricas evidentemente no dependen del triángulo que tracemos sólo dependen del ángulo.


Ejemplo[editar]

Archivo:Triangulo2.png Tenemos un triángulo como el de la figura y queremos saber sus razones trigonométricas así que medimos sus tres lados a= 60mm b= 80mm c= 100mm

\sin \alpha =  \frac {a}{c}=\frac{60}{100}=0,6
\cos \alpha = \frac{b}{c}=\frac{80}{100}=0,8
\tan \alpha=\frac{a}{b}=\frac{60}{80}=0,75

Relaciones entre las razones trigonométricas del mismo ángulo[editar]

Las razones trigonometricas, es decir el sin, cos, tan son dependientes, esto quiere decir que si sabemos una, sabemos las tres. Estas relaciones son las siguientes:

Relaciones trigonométricas fundamentales[editar]

(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = 1\,\!

\frac{ \sin \alpha}{ \cos \alpha}=\tan \alpha

Nota importante: El cuadrado de estas razones no se expresa (\sin \alpha)^2\ (\cos \alpha)^2\  (\tan \alpha)^2\,\! sino así \sin^2 \alpha \ \cos^2 \alpha \ \tan^2 \alpha \,\! Es conveniente que se aprendan, hay que tener en cuenta que la mayor parte (seguramente toda) de la literatura matemática usa esa notación.

Demostración[editar]

\sin^2 \alpha  + \cos^2 \alpha  = \left ( \frac{a}{c} \right ) ^2 + \left ( \frac{b}{c} \right ) ^2 = \frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}=

Aplicamos Pitagoras: a^2+b^2=c^2\,\!

=\frac{c^2}{c^2}=1



\frac{ \sin \alpha}{ \cos \alpha}=\frac{a}{c}:\frac{b}{c}=\frac{a}{b}=\tan \alpha

Ejemplos[editar]

Se conoce el cos 53=0,6 y se quiere calcular cuánto valen s =sin \alpha\ \mbox{ y }\ t=tan \alpha\,\!

s^2 + (0,6)^2=1 \rightarrow s^2=1-(0,6)^2 \rightarrow s= \sqrt {0,64}=0,8

t=\frac{0,8}{0,6}=1,333



Se conoce la tangente de un ángulo \tan \alpha = \frac{1}{3} y se quiere calcular cuánto valen \sin \alpha=s \ \mbox{ y } \cos \alpha =c \,\!

\left . \begin{matrix} \frac {s}{c}=\frac{1}{3} \\ s^2+c^2=1 \end{matrix} \right \} \rightarrow \left . \begin{matrix} c=3s \\ s^2+(3s)^2=1  \rightarrow 10s^2=1 \rightarrow s=\frac{1}{\sqrt{10}}= \frac{\sqrt{10}}{10} \end{matrix} \right \} \rightarrow c=\frac{3 \sqrt{10}}{10}

Utilización de la calculadora en trigonometría[editar]

Todas las calculadoras científicas del mercado disponen de teclas para las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Sin embargo, es importante tener en cuenta dos factores de interés:

  • En algunos modelos se introduce el valor del ángulo y luego se pulsa la tecla de la razón trigonométrica para obtener su valor, mientras que en otros se hace justamente al revés, primero se pulsa la tecla de la razón deseada, luego se introduce el valor del ángulo y por último la tecla de resultado (generalmente =) nos muestra el resultado en la pantalla.
  • Las calculadoras científicas utilizan tres sistemas de medida angular, los radianes (RAD), los grados sexagesimales (DEG) y los gradianes (GRAD). Es muy importante tener en cuenta este factor, ya que no es lo mismo  sin(100^o) = 0,984807753 que  sin(100 rad) = -0,506365641 o  sin(100 gra) = 1 . La conversión entre los sistemas es la siguiente:  180^o = \pi rad = 200 gra

Resolución de triangulos rectángulos[editar]

Cuando decimos resolver un triángulo nos referimos a que encontramos todas sus magnitudes desconocidas, es decir la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos, a partir de las conocidas.

Triángulos rectángulos[editar]

Si un triángulo es rectángulo en realidad ya sabemos una cosa, que tiene un ángulo de 90º, así que nos hará falta menos información para resolverlo. Podemos resolver un tirángulo rectángulo si conocemos:

  • Dos lados
    • Podemos calcular el tercer lado con el Teorema de Pitágoras a^2+b^2=c^2\,\!
    • Cuando sabemos lo que miden los tres lados es fácil encontrar los ángulos a partir de las razones trigonométricas y de la relación entre los ángulos de un triángulo.

Ejemplo Archivo:Triangulo3.png Tenemos este triángulo y sabemos que a= 14 \ \mbox{ y } \ c = 23\,\!

b=\sqrt{23^2-14^2}=18,25

\sin \hat A = \frac{14}{23}=0,6087 \rightarrow \hat A=37,5^\circ

\hat B = 180 - 90 - \hat A=180-90-37,5 = 52,5^\circ\,\!


  • Un ángulo y un lado
    • Los lados se calculan mediante la razón trigonométrica del ángulo que tenemos y con la longitud del lado que tenemos
    • El ángulo que nos falta se calcula recordando que los ángulos de un triángulo suman entre los tres 180º siempre.

Ejemplo imagen por hacer Tenemos este triángulo y conocemos a=29 \ \mbox{ y } \ \hat B=63^o\,\!

\tan \hat B = \frac{a}{b} \rightarrow b=a \tan \hat B=29 \tan 63=56,92\,\!

c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{29^2+56,92^2}=63,88

Resolución de triángulos no rectángulos. Estrategia de la altura[editar]

x
Queremos resolver un triángulo como el de la figura. Sabemos que miden dos de sus lados a=273, b=326\,\! y el ángulo \hat C = 38^\circ\,\!

Para resolverlo lo que hacemos es trazar la siguiente altura x, obtenemos así dos triángulos rectángulos:

Del primer triángulo (el 1) conocemos a=273 \ \mbox{ y } \  \hat C = 38^\circ\,\! obtendremos x e y.

\sin \hat C = \frac {x}{a} \rightarrow x=a \sin \hat C= 273 \sin 38^\circ=168,08

\cos \hat C = \frac {y}{a} \rightarrow y=a \cos \hat C= 273 \cos 38^\circ=215,13

Del segundo triángulo:

z=b-y=326-215,13=110,87\,\!

Finalmente para encontrar c aplicamos Pitágoras:

c= \sqrt {x^2+z^2}=\sqrt{168,08^2+110,87^2}=201,35




imagen por hacer Tenemos un triángulo como el siguiente y queremos encontrar que vale x, sabemos que a=30 \alpha=40 \beta=60

\left . \begin{matrix} \tan 60=\cfrac{y}{x} \to y=x \cdot\tan 60=1,73x \\ \tan 40= \cfrac{y}{x+30} \to y=(x+30)\tan40=0,84(x+30)\end{matrix} \right \} \to 1,73x=0,84(x+30) \to x=28,31

Algunos resultados muy útiles[editar]

Esto que viene a continuación uno podria deducirlo. Pero igual que las tablas de multiplicar que se pueden deducir sumando repetidas veces un número es mejor memorizarlo ya que aparecen con frecuencia.

Proyección d un segmento

imagen por hacerCuando proyectamos un segmento sobre una recta la longitud de dicha proyección es la misma que la del segmento multiplicada por el coseno del angulo que formar segmento y recta.

\cos \alpha = \frac {\overline{AC}}{\overline{AB}} \to \overline{AC}=\overline{AB} \cos \alpha

\overline{A'B}'=\overline {AB} \cos \alpha


Altura de un triangulo

imagen por hacerSi cojemos cualquier lado del triángulo (que no sea la base) y lo multiplicamos por el seno del ángulo que forma este con la base obtendremos la altura del triángulo.

\sin \alpha= \frac {h}{a} \to h=a\sin \alpha


Area de un triangulo

imagen por hacerEl area del triangulo es la misma que la mitad del producto de dos de sus lados multiplicado por el seno que forman

A=\frac{b\cdot a}{2}=\frac{1}{2}a\cdot b \sin \alpha


Ejemplos

imagen por hacerEl Sr. Amon Pep de Sasini ha creado una escultrura de un gusano gignate como el de la figura y quiere ponerlo en su jardín circular de 10 metros de diametro, ¿le cabe?

El gusano esta formado por 4 segmentos de 2\mbox{m }\, 7\mbox{m }\, 1,2\mbox{m }\, \mbox{y }\, 5\mbox{m}\,\! y los angulos que forman con el suelo son 20^\circ \  70^\circ\  30^\circ\ \mbox{y } 50^\circ.

El gusano cabrá si la suma de las proyecciones cabe:

2 \cos 25 + 7 \cos 70 +1,2 \cos 30 + 5 \cos 49=1,81+2,39+1,04+3,28=8,52\mbox{m }\,\!

Por lo tanto el Sr. de Sasini puede poner el gusano tranquilamente.



imagen por hacerDepués de la creación del gusano el Sr. de Sasini y satisfecho con suestros servicios de proyecciones nos encarga calcular los metros cuadrados de cesped que debe comprar para embellecer su jardín triangular como el que muestra este boceto.

A=\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 \sin 60 = 7,79 m^2

Razones trigonométricas de ángulos obtusos[editar]

imagen por hacerSi queremos conocer las razones trigonométricas de un angulo obtuso \alpha\,\!, basta fijarse en la figura para ver que son fáciles de obtener, a través de su angulo suplementario 180^\circ - \alpha\,\!

\sin \alpha=\sin(180^\circ - \alpha)

\cos \alpha=-\cos (180^\circ - \alpha)

La tngente es un poco menos intuitiva, pero también es facil de entender: imagen por hacer La tangente de un angulo obtuso es siempre negativa.

\tan \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sin(180^\circ - \alpha}{-\cos (180^\circ - \alpha)}=-\tan(180^\circ - \alpha)

Resolución de triangulos cualesquiera[editar]

Podría parecer que este apartado es inútil debido a que ya se ha aprendido a resolver triangulos cualesquiera con la estrategia de la altura. Sin embargo existen dos teoremas que no agilizarán mucho las cosas sin que tengamos que hacer tantos pasos como con la estratégia de la altura.

Teorema del seno[editar]

imagen por hacerIntuitivamente uno puede ver que el angulo mayor de un triangulo tiene enfrente el lado mayor, y el angulo menor de un triangulo tiene enfrente el lado menor.

El teorema del seno dice esto precisamente, un poco más formalmente:

Si tenemos un triangulo de lados a,\ b,\ c y ángulos \hat A \ \hat B \ \mbox{ y } \hat C

Se cumple que:

\frac{a}{\sin \hat A}=\frac{b}{\sin \hat B}=\frac{c}{\sin \hat C}


Demostración[editar]

imagen por hacer Lo demostraremos a partir de la estrategia de la altura.

Dibujamos la altura h desde el vértice C. Los triángulos AHC y BCH son rectángulos los dos.

Tenemos que:

\left . \begin{matrix} \sin \hat A=\cfrac{h}{b} \to h=b \sin \hat A \\ \sin \hat B=\cfrac{h}{a} \to h=a \sin \hat B \end{matrix} \right \} \to b \sin \hat A= a \sin \hat B \to \frac{a}{\sin A}= \frac{b}{\sin B}

Para encontrar la igualdad \frac{a}{\sin \hat A}=\frac{c}{\sin \hat C} trazamos h desde el vértice B y procedemos igual que antes.

Aplicaciones[editar]

Antes de continuar hay que advertir que cuando nuestra incognita sea uno de los angulos y apliquemos el teorema del seno hay dos soluciones debido a que los angulos suplementarios tienen el mismo seno. Tendremos que comprobar si las soluciones son validas.


  • Triangulos cualesquiera con dos ángulos y un lado conocidos

Ejemplo

imagen por hacer Tenemos un triangulo como el de la figura, y queremos resolverlo.

Conocemos un lado b= 71\,\! y dos ángulos \hat A=61^\circ \ \mbox{ y } \  \hat C=37^\circ \,\!

Podríamos aplicar el teorema del seno si tuviesemos \hat B Para encontrarlo recordemos que todos los angulos de un triangulo deben sumar 180^\circ\,\!

\hat B=180^\circ - (\hat A + \hat C)=180-(61+37)= 82^\circ

\frac {a}{\sin \hat A}=\frac{b}{\sin B} \to \frac {a}{\sin 61^\circ}=\frac{71}{\sin 82^\circ} \to a=71 \frac{\sin 61^\circ}{\sin 82^\circ}=62,71

\frac {c}{\sin \hat C}=\frac{b}{\sin B} \to \frac {c}{\sin 37^\circ}=\frac{71}{\sin 82^\circ} \to a=71 \frac{\sin 37^\circ}{\sin 82^\circ}=43,14

Había un error el ángulo vale 37º



  • Dos lados y el angulo opuesto de uno de ellos conocido

Ejemplo

imagen por hacer Ahora nos encontramos con el siguiente problema:

Conocemos a=7, \hat B = 25^\circ b=9\,\! tenemos que encontrar \hat A\,\!

\frac {a}{\sin \hat A}=\frac{b}{\sin B} \to \frac {7}{\sin \hat A}=\frac{9}{\sin 25^\circ} \to \sin \hat A=\frac{7 \cdot 0,42}{9}=0,33

\arcsin 0,33= \left \{ \begin{matrix} 19,07^\circ \\ 160,93^\circ \to \hat A + \hat B = 185,93 \mbox{ imposible} \end{matrix} \right .


Solo tiene una solución, pero podria haber tenido dos o ninguna, juega con los valeres de a y investiga, haciendo dibujos, el por qué de todo esto.

Teorema del coseno[editar]

imagen por hacer Si cogemos un triangulo rectangulo y el angulo de 90^\circ lo disminuimos es intuitivo de que la "hipotenusa" se hará más corta, y si lo hago más grande esta se hará más grande. Pues esto es lo que nos dice el teorema del coseno, en realidad podríamos decir que el teorema del coseno es el teorema de Pitagoras versión 2.0

imagen por hacerTenemos un triangulo cualquiera, se cumple que:

a^2=b^2+c^2 -2bc \cos A\,\!

b^2=a^2+c^2 -2ac \cos B\,\!

c^2=a^2+b^2 -2ab \cos C\,\!


Demostración[editar]

Dibujamos la altura h, perpendicular a b

\overline{AH}= c \cos \hat A

\overline{HC}= b - \overline{AH}= b- c \cos \hat A

Aplicamos Pitagoras a AHB y BHC

a^2=h^2+ \overline{HC}^2=h^2+(b - \overline{AH})^2=h^2+b^2+c^2 \cos^2 \hat A -2bc \cos \hat A

c^2=h^2+ \overline{AH}^2=h^2+(c \cos \hat A)

a^2-c^2=b^2-2bc \cos \hat A \to a^2=b^2+c^2 -2bc \cos \hat A

Se puede comprobar que tanto para todos los tipos de triángulos sale la misma fórmula.

Aplicaciones[editar]

Hay cuatro casos de problemas que se aconsejan resolver por el teorema del coseno

  • Conocemos tres lados y queremos conocer cualquier angulo
  • Conocemos dos lados y el angulo opuesto a uno de ellos y queremos conocer el otro lado
  • Conocemos dos lados y el angulo que forman y queremos saber el otro lado
  • Conocemos dos lados y el angulo que forman y queremos conocer otro angulo. Para este último caso deberemos aplicar el teorema del coseno primero para saber el lado que nos falta y después el teorema del seno para saber el angulo

Ejemplo[editar]

imagen por hacerEl señor Vuy Pam Boli aconsejado por el senyor de Sasini, decide hacernos una consulta sobre caza. El tiene una escopeta que alcanza 200m y resulta que desde su puesto de caza el ve dos arboles donde suelen parar los pajaros, sin embargo uno de ellos (el C) es dificil medir la distancia que le separa de A. Sin embargo el segundo arbol si es accesible así que medimos la distancia que resulta ser de 220m. Desde donde estamos vemos que existe una senda así que podemos medir el segmento \overline{BC} que resulta ser de 90 m y el angulo que forman es de 20^\circ. Nos queda entonces por saber si el Sr. Pam Boli le alcanza el arma al arbol C

b^2=a^2+c^2 -2ac \cos A\,\! \to b=\sqrt{90^2+220^2 -2\cdot 90 \cdot 220 \cos 200}=138.88 Dumbo... estaba mal el resultado, es 138.88... sorry. Por lo tanto puede disparar solo al arbol C El ángulo es de 20^\circ.