Matemáticas Bachillerato LOGSE/Iniciación al cálculo de derivadas

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Contenido 1 Medida del crecimiento de una función 2 Crecimiento de una función en un punto 3 Función derivada de otra 4 Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones 5 Aplicaciones de las derivadas 6 Véase también

[editar] Medida del crecimiento de una función

El resultado de derivar una función es una segunda función que nos indica el crecimiento de la función original. Esto es, en un punto determinado, la pendiente de la función original. Desde un punto de vista gráfico para facilitar su comprensión, una línea recta dibujada horizontalmente tiene una función, una ecuación, asociada como la siguiente: y = n, donde n es un número. La derivada de esta función es 0, puesto que n es una constante. En este caso la derivada nos explica que la función ni crece ni decrece.

Ahora imaginemos una recta creciente de función y = nx, donde n (la pendiente) es un número positivo. Si derivamos la función obtendremos de resultado una constante de valor n (la pendiente de la función anterior). Siendo este número positivo sabemos que la función crece.

Conclusión: La derivada de una función nos dice la pendiente de la función.

¿Es esto siempre válido? Con matices. En el caso de las funciones de recta (polinomios de 1r grado) lo es porque independientemente del punto en el que derives el resultado es constante.

¿Y en el caso de curvas (polinomios de grado superior a 1 u otras funciones)? Es válido. PERO: La derivada genérica de la función f(x) nos devolverá una función derivada D[f(x)] que nos dará toda la información del crecimiento de la función original mientras que si lo que queremos es la información de crecimiento en un punto concreto debemos derivar en el punto.

[editar] Crecimiento de una función en un punto

[editar] Función derivada de otra

[editar] Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones

Las reglas básicas que hay que conocer para derivar funciones tan complejas como uno quiera son:

1. D[c] = 0, siendo c=cte.
2. D[c * f(x)] = c * D[f(x)], siendo c=cte. y f(x) cualquier función.
3. D[xⁿ] = n * x^{n − 1}, siendo n=cte no nula.
4. D[sin(x)] = cos(x)
5. D[cos(x)] = − sin(x)
6. D[tan(x)] = 1 / cos²(x) = 1 + tg²(x)
7. D[Ln(x)] = 1 / x
8. D[e^x] = e^x

Y la regla de la cadena: D[f(g(x))] = g'(x) * f'(g(x))

[editar] Aplicaciones de las derivadas

Dada una función f(x) que es derivada de otra función F(x)

f(x) = F'(x)

f(x) se anula en los puntos donde hay un máximo o un mínimo en la función primitiva F(x)

La derivada segunda F''(x) (derivada de la derivada) se anula en los puntos en los cuales se encuentran puntos de inflexión en la función original F(x)

[editar] Véase también

http://ballz.ababa.net/silvana/derivada.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t3-DerivadaParcial/node1.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/derivada-direccional/node1.html