Matemáticas Bachillerato LOGSE/Herramientas de aritmética

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Números Racionales[editar]

Se dan por conocidos los números naturales \{0, 1, 2, 3, 4, ..., 10, 11, ...\} . El conjunto de todos ellos se representa con la letra \mathbb{N}.

Los enteros (\mathbb{Z}) son los naturales y sus opuestos 1, -1, 2, -2, 3, -3,...

La definición de números racionales es: x \in \mathbb{Q} \iff a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 tales que  x= \frac{a}{b}

Es decir, se dice que un número es racional si se puede escribir como la fracción de dos números enteros.

Los números racionales también se pueden detectar por su forma decimal ya que todos tienen una expresión finita o periódica.

\mathrm{-3} \qquad \frac{57}{25}=2,28 \qquad \frac{22}{6}=3,6666666...=3,\widehat{6} son todos números racionales.

Representación de números racionales sobre la recta[editar]

Aproximación decimal de un número real[editar]

Podemos encontrarnos con números reales que tienen infinitas cifras decimales. ¿Cómo trabajamos con este tipo de números? Para esto hacemos una aproximación al orden de unidad que más nos interese. Existen distintos métodos tales como redondeo o truncamiento.

Intervalos y semirectas[editar]

Se intentará explicar aquí la nomenclatura que existe para designar algunos tramos de la recta real:

NOMBRE SIMBOLO SIGNIFICADO REPRESENTACIÓN
Intervalo abierto
(a, b)\,\!
\left \{ x \ / a<x<b \right \}
Números comprendidos entre a y b.
Intervalo abierto.png
Intervalo cerrado
[a, b]\,\!
\left \{ x \ / a \le x \le b \right \}
Números comprendidos entre a y b, ambos incluidos.
Intervalo cerrado.png
Intervalo
semiabierto
(a, b]\,\!
\left \{ x \ / a<x \le b \right \}
Números comprendidos entre a y b, b incluido.
Intervalo semiabierto 01.png
[a, b)\,\!
\left \{ x \ / a \le x<b \right \}
Números comprendidos entre a y b, a incluido.
Intervalo semiabierto 02.png
Semirecta
( - \infty , a)\,\!
\left \{ x \ / x<a \right \}
Números menores que a.
Semirrecta 01.png
( - \infty , a]\,\!
\left \{ x \ / x \le a \right \}
Números menores o iguales que a.
Semirrecta 02.png
( a, \infty )\,\!
\left \{ x \ / a < x \right \}
Números mayores que a.
Semirrecta 03.png
[ a, \infty )\,\!
\left \{ x \ / a \le x \right \}
Números mayores o iguales que a.
Semirrecta 04.png


Expresión decimal aproximada. Errores[editar]

La motivación de este apartado no es otro que mostrar lo absurdo que puede ser tener muchas cifras significativas si podemos cometer errores de medida.

Por ejemplo la altura de una montaña no tiene sentido decir que es 1245,782m (7 cifras significativas) si hay un escarabajo paseandose por ahí o bien se produce erosión en la cima esa medida no sirve para nada, mejor sería decir que la montaña mide 1250m (3 cifras significativas) o 1245m (4 cifras significativas) si hay que ser preciso. Los dos últimos serían medidas aproximadas.

Cuando damos una medida aproximada el valor que damos no coincidirá en general con el valor exacto (que desconocemos y que normalmente ni siquiera es constante) esta diferencia entre lo real y el valor que damos es el error absoluto.

El error absoluto es desconocido porque el valor real también lo es, pero podemos acotarlo, esto es asegurar que por debajo de cierto valor seguro que no estará y que por encima de otro tampoco. Por ejemplo yo puedo decir que la montaña mide entre 1250 y 1240 metros esto quiere decir que el error que yo cometería sería inferior a 5 metros.

El problema del error absoluto es que engaña, no es lo mismo si digo que el error de medición de un bonsai que mide 0,4m es de 0,2 metros que si digo que el error de medición de una secuoya (de 20m) es de 0,2m. En el segundo caso casi ni se nota en el primero si. Para eso se tiene el error relativo que es la relación entre error absoluto y el valor real.

Notación científica[editar]

La notación científica es muy útil para expresar números muy grandes o muy pequeños.

Tiene tres partes:

  • Una parte entera de una sola cifra
  • Las otras cifras significativas como la parte decimal
  • Una potencia de base diez que da el orden de magnitud de la cifra

Ejemplo: \mathrm {3,287} \cdot \mathrm{10^{12}} = 3\,287\,000\,000\,000

Operaciones con números en notación científica[editar]

Productos[editar]

\mathrm{2,34 \cdot 10^{-4}} \cdot \mathrm{3,45 \cdot 10^{8}} = (2,34 \cdot 3,45) \cdot 10^{-4+8} = 8,073 \cdot 10^{4}

\mathrm{7,04 \cdot 10^{3}} \cdot \mathrm{5,35 \cdot 10^{8}} = 37,664 \cdot 10^{11} = 3,7664 \cdot 10^{12}


Vemos que tanto el primer caso como el segundo son inmediatos esto pasa siempre con los productos, sin embargo habría que prestar atención al segundo ejemplo en el que hay que correr la coma hacia la izquierda y aumentar el exponencial para que la notación siga siendo científica.

Cocientes[editar]

\frac {2,34 \cdot 10^{-4}}{1,45 \cdot 10^{8}}=\bigg( \frac {2,34}{1,45} \bigg) \cdot 10^{-4-8}=1,614 \cdot 10^{-12}

\frac {5,35 \cdot 10^{8}}{7,04 \cdot 10^{3}}=0,7599 \cdot 10^{5}= 7,599 \cdot 10^{4}

Sumas y restas[editar]

4,3 \cdot 10^{9} + 3,67 \cdot 10^{13} - 5,324 \cdot 10^{10}=

 = 4,3 \cdot 10^{9} + 36700 \cdot 10^{9} - 53,24 \cdot 10^{9} = (4,3+36700-53,24) \cdot 10^{9} =

 = 36651,06 \cdot 10^{9} = 3,665106 \cdot 10^{13}

Fijémonos en el método seguido: primero hemos puesto todas los números con un exponente común, y luego cuando ya lo hemos calculado todo lo hemos dejado en notación científica otra vez.

Radicales[editar]

Nomenclatura: \sqrt [n]{a} es el radical \mathit {a}\,\! es el radicando y \mathit {n}\,\! es el índice de la raíz.

Ya se ha visto que \sqrt [n]{a} = b \iff a = b^{n}

  • Si a \ge 0, \sqrt [n]{a} existe para cualquier \mathit {a}\,\! y cualquier \mathit {n}\,\!
  • Si a < 0, \sqrt [n]{a} existe sólo para valores impares de \mathit {n}\,\!

Forma exponencial de los radicales

\sqrt [n]{a}= a ^{\frac{1}{n}} ya que \big( a ^{\frac{1}{n}}\big)^{n} = a

\sqrt [n]{a^m}= a ^{\frac{m}{n}} ya que \sqrt [n]{a^m}=\big( a^m \big) ^{\frac{1}{n}}=a^{m \cdot \frac{1}{n}}=a ^{\frac{m}{n}}


Propiedades de los radicales[editar]

\sqrt[np]{a^{p}} = \sqrt[n]{a}

ya que \sqrt [np]{a^{p}} = a^{\frac {p}{np}} = a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

Aplicaciones

  • Simplificar radicales \sqrt[4]{25} = \sqrt[4]{5^{2}} = \sqrt{5}
  • Pasar radicales a índice común. ¿Qué es más grande, \sqrt[3]{534} ó \sqrt{78}?

\sqrt[3]{534} = \sqrt[6]{534^{2}} = \sqrt[6]{285\,156}, \sqrt[6]{78^{3}} = \sqrt[6]{474\,552} Por lo tanto \sqrt[3]{534} < \sqrt{78}



\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}

ya que \sqrt[n]{a \cdot b} = (a \cdot b)^{\frac{1}{n}} = a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}

Aplicaciones

  • Sacar fuera de la raíz los factores que nos convengan. \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2}=

= \sqrt {5^{2} \cdot 2} = \sqrt {5^2} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot \sqrt{2}

  • Agrupar radicales \sqrt{23} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{230}



\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

ya que \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \bigg( \frac{a}{b} \bigg)^{\frac{1}{n}} = \frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

Aplicaciones

  • Gracias a estas tres propiedades podemos juntar castillos de fracciones en un solo radical:

\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt[3]{4}}{\sqrt[6]{40}} = \frac{\sqrt[6]{5^3} \cdot \sqrt[6]{4^2}}{\sqrt[6]{5 \cdot 2^3}} = \sqrt[6]{\frac{5^3 \cdot 2^4}{5 \cdot 2^3}} = \sqrt[6]{2 \cdot 5^2} = \sqrt[6]{50}



\Big( \sqrt[n]{a} \Big)^p = \sqrt[n]{a^p}

ya que \Big( \sqrt[n]{a} \Big)^p = \Big(a^{\frac{1}{n}} \Big)^p = (a^{\frac{1}{n} \cdot p}) = \Big(a^p \Big)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a^p}



\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}

ya que \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \Big(a^{\frac{1}{n}}\Big)^\frac{1}{m} = a^{\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{n \cdot m}} = \sqrt[mn]{a}



No se pueden sumar radicales distintos, sólo los semejantes (aquellos que tras simplificarlos tienen el mismo radicando y el mismo índice)

Es decir, yo no puedo sumar \sqrt{5} + \sqrt{2} ni tampoco \sqrt[3]{5} + \sqrt{5}

En cambio sí que puedo sumar 3\sqrt{7} + 6\sqrt{7} - \sqrt{7} = 8\sqrt{7}

Hay veces que no es evidente:

\sqrt{8}-\sqrt{50}+\sqrt{98} = \sqrt{2^3}-\sqrt{2 \cdot 5^2}+\sqrt{2 \cdot 7^2} =

= 2\sqrt{2}-5\sqrt{2}+7\sqrt{2} = 4\sqrt{2}



A veces (muchas) nos interesará 'quitar' las raíces del denominador. Esto se hace multiplicando numerador y denominador por la expresión adecuada (este proceso se denomina racionalizar)

\frac{1}{\sqrt[3]{49}} = \frac{1}{\sqrt[3]{7^2}} = \frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{7^2}\cdot\sqrt[3]{7}} = \frac{\sqrt[3]{7}}{7}

\frac{1}{7 - \sqrt{5}} = \frac{7 + \sqrt{5}}{\big(7 + \sqrt{5}\big)\big(7 - \sqrt{5}\big)} = \frac{7 + \sqrt{5}}{7^2-\big(\sqrt{5}\big)^2} = \frac{7 + \sqrt{5}}{44}

Logaritmos[editar]

Motivación

En el pasado los logaritmos eran muy útiles para calcular productos de números muy grandes (recordemos que no habia calculadoras). Hoy en día se utilizan entre otras cosas para representar en un mismo gráfico diferentes ordenes de magnitud, los decibelios al fin y al cabo son logaritmos.

Logaritmos decimales[editar]

Un logaritmo decimal de un número {P}\,\! se designa como \log P\,\!, y el resultado es el número al que hay que elevar el {10}\,\! para obtener {P}\,\!

x=\log P \iff 10^x=P

La primera vez que se ven los logaritmos uno se siente tal vez algo extrañado, por eso es bueno que se hagan pruebas para familiarizarse con ellos, por ejemplo decir cual es el \log 245\,\! a base de tanteo 10^{2,3}=199 10^{2,4}=251 10^{2,35}=223 y luego comprobar que vale log 245 con la calculadora.

Logaritmos de base cualquiera[editar]

Se define el logaritmo en base a (a>0)\,\! de P\,\!, y se escribe como \log _a P\,\!, el exponente al que hay que elevar a\,\! para obtener P\,\!

\log_a P=x \iff a^x=P

Logaritmo Neperiano[editar]

También llamado logaritmo natural, es un logaritmo en base e. Se representa como \ln

\log_e{x} = \ln{x} Se lee: "logaritmo en base e de x" es igual (es lo mismo que) "logaritmo natural de x"

Propiedades[editar]

  • El logaritmo de la base es uno \log_a a=1\,\!
  • El logaritmo de 1 es cero para cualquier base \log_a 1=0\,\!
  • Logaritmo de un producto \log_a (P \cdot Q) = \log_a P + \log_a Q\,\!
  • Logaritmo de un cociente \log_a \left( \frac{P}{Q} \right) = \log_a P - \log_a Q\,\!
  • Logaritmo de una potencia \log_a P^n = n\, \log_a P\,\!
  • Logaritmo de una raíz \log_a \sqrt[n]{P} = \frac{1}{n} \log_a{P}\,\!
  • Cambio de base \log_a P = \frac{\log P}{\log a} Si nos fijamos esta propiedad nos permite calcular logaritmos de base cualquiera con una calculadora que solo disponga de logaritmo decimal.