Matemáticas Bachillerato LOGSE/Herramientas de aritmética

De Wikilibros, la colección de libros de texto de contenido libre.

[editar] Números Racionales

Se dan por conocidos los números naturales ${0,1,2,3,4,...,10,11,...}$ . El conjunto de todos ellos se representa con la letra $\mathbb{N}$ .

Los enteros ( $\mathbb{Z}$ ) son los naturales y sus opuestos 1, -1, 3, -3,...

La definición de números racionales es: $x \in \mathbb{Q} \iff a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0$ tales que $x= \frac{a}{b}$

Es decir, se dice que un número es racional si se puede escribir como la fracción de dos números enteros.

Los números racionales también se pueden detectar por su forma decimal ya que todos tienen una expresión finita o periódica.

$\mathrm{-3} \qquad \frac{57}{25}=2,28 \qquad \frac{22}{6}=3,6666666...=3,\widehat{6}$ son todos números racionales.

[editar] Representación de números racionales sobre la recta

[editar] Números irracionales

Los números irracionales son aquellos que no se pueden expresar como una fracción o lo que es lo mismo no se pueden expresar en su forma decimal como un número finito o periódico todos son infinitos y no periódicos. Son irracionales:

$\sqrt{p}$ si $p$ no es un cuadrado perfecto
$\sqrt[n]{p}$ siendo en general $p$ un número entero y $p$ no es una potencia $n$ -ésima
Números como $π$ ó $e$

Un apunte final, en cualquier intervalo de dos números hay infinitos números irracionales.

[editar] Números reales. Recta Real

Denominamos $\mathbb{R}$ a todo el conjunto de números reales. En la recta real cada punto corresponde a un número real, de ahí su nombre.

[editar] Aproximación decimal de un número real

Como ya se ha visto un numero real se puede aproximar y también se puede representar sobre la recta real

[editar] Entero o decimal exacto

Vamos intentar representar un número al azar, el 3,24 por ejemplo, buscamos el 3,2 primero, "ampliamos" buscamos el 3,24 y marcamos.

[editar] Decimal periódico

Hacemos con la regla una recta oblicua a la primera y que mida un múltiplo del denominador dividimos esta nueva recta en tantas partes como indique el denominador (si el denominador es 7 dividimos en siete partes), unimos sus extremos y trazamos las paralelas.

[editar] Radical cuadrático

Podemos representar un radical cuadrático teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras. En el ejemplo, se muestra como se ha representado $\sqrt{13}$

Imagen:Recta real radical cuadratico.png

[editar] Resto de irracionales

En este caso se toma su expresión aproximada decimal y se afina tanto como se quiera empleando el método mostrado en decimales exactos.

[editar] Intervalos y semirectas

Se intentará explicar aquí la nomenclatura que existe para designar algunos tramos de la recta real:

NOMBRE	SIMBOLO	SIGNIFICADO
Intervalo abierto	$(a, b)\,\!$	$\left \{ x \ / a<x<b \right \}$ Números comprendidos entre a y b.
Intervalo cerrado	$[a, b]\,\!$	$\left \{ x \ / a \le x \le b \right \}$ Números comprendidos entre a y b, ambos incluidos.
Intervalo semiabierto	$(a, b]\,\!$	$\left \{ x \ / a<x \le b \right \}$ Números comprendidos entre a y b, b incluido.
Intervalo semiabierto	$[a, b)\,\!$	$\left \{ x \ / a \le x<b \right \}$ Números comprendidos entre a y b, a incluido.
Semirecta	$( - \infty , a)\,\!$	$\left \{ x \ / x<a \right \}$ Números menores que a.
	$( - \infty , a]\,\!$	$\left \{ x \ / x \le a \right \}$ Números menores o iguales que a.
	$( a, \infty )\,\!$	$\left \{ x \ / a < x \right \}$ Números mayores que a.
	$[ a, \infty )\,\!$	$\left \{ x \ / a \le x \right \}$ Números mayores o iguales que a.

[editar] Expresión decimal aproximada. Errores

La motivación de este apartado no es otro que mostrar lo absurdo que puede ser tener muchas cifras significativas si podemos cometer errores de medida.

Por ejemplo la altura de una montaña no tiene sentido decir que es 1245,782m (7 cifras significativas) si hay un escarabajo paseandose por ahí o bien se produce erosión en la cima esa medida no sirve para nada, mejor sería decir que la montaña mide 1250m (3 cifras significativas) o 1245m (4 cifras significativas) si hay que ser preciso. Los dos últimos serían medidas aproximadas.

Cuando damos una medida aproximada el valor que damos no coincidirá en general con el valor exacto (que desconocemos y que normalmente ni siquiera es constante) esta diferencia entre lo real y el valor que damos es el error absoluto.

El error absoluto es desconocido porque el valor real también lo es, pero podemos acotarlo, esto es asegurar que por debajo de cierto valor seguro que no estará y que por encima de otro tampoco. Por ejemplo yo puedo decir que la montaña mide entre 1250 y 1240 metros esto quiere decir que el error que yo cometería sería inferior a 5 metros.

El problema del error absoluto es que engaña, no es lo mismo si digo que el error de medición de un bonsai que mide 0,4m es de 0,2 metros que si digo que el error de medición de una secuoya (de 20m) es de 0,2m. En el segundo caso casi ni se nota en el primero si. Para eso se tiene el error relativo que es la relación entre error absoluto y el valor real.

[editar] Notación científica

La notación científica es muy útil para expresar números muy grandes o muy pequeños.

Tiene tres partes:

Una parte entera de una sola cifra
Las otras cifras significativas como la parte decimal
Una potencia de base diez que da el orden de magnitud de la cifra

Ejemplo: $\mathrm {3,287} \cdot \mathrm{10^{12}} = 3\,287\,000\,000\,000$

Título del enlace===Operaciones con números en notación científica===

[editar] Productos

$\mathrm{2,34 \cdot 10^{-4}} \cdot \mathrm{3,45 \cdot 10^{8}} = (2,34 \cdot 3,45) \cdot 10^{-4+8} = 8,073 \cdot 10^{4}$

$\mathrm{7,04 \cdot 10^{3}} \cdot \mathrm{5,35 \cdot 10^{8}} = 37,664 \cdot 10^{11} = 3,7664 \cdot 10^{12}$

Vemos que tanto el primer caso como el segundo son inmediatos esto pasa siempre con los productos, sin embargo habría que prestar atención al segundo ejemplo en el que hay que correr la coma hacia la izquierda y aumentar el exponencial para que la notación siga siendo científica.

[editar] Cocientes

$\frac {2,34 \cdot 10^{-4}}{1,45 \cdot 10^{8}}=\bigg( \frac {2,34}{1,45} \bigg) \cdot 10^{-4-8}=1,614 \cdot 10^{-12}$

$\frac {5,35 \cdot 10^{8}}{7,04 \cdot 10^{3}}=0,7599 \cdot 10^{5}= 7,599 \cdot 10^{4}$

[editar] Sumas y restas

$4,3 \cdot 10^{9} + 3,67 \cdot 10^{13} - 5,324 \cdot 10^{10}=$

$= 4,3 \cdot 10^{9} + 36700 \cdot 10^{9} - 53,24 \cdot 10^{9} = (4,3+36700-53,24) \cdot 10^{9} =$

$= 36651,06 \cdot 10^{9} = 3,665106 \cdot 10^{13}$

Fijémonos en el método seguido: primero hemos puesto todas los números con un exponente común, y luego cuando ya lo hemos calculado todo lo hemos dejado en notación científica otra vez.

[editar] Radicales

Nomenclatura: $\sqrt [n]{a}$ es el radical $\mathit {a}\,\!$ es el radicando y $\mathit {n}\,\!$ es el índice de la raíz.

Ya se ha visto que $\sqrt [n]{a} = b \iff a = b^{n}$

Si $a \ge 0, \sqrt [n]{a}$ existe para cualquier $\mathit {a}\,\!$ y cualquier $\mathit {n}\,\!$
Si $a < 0, \sqrt [n]{a}$ existe sólo para valores impares de $\mathit {n}\,\!$

Forma exponencial de los radicales

$\sqrt [n]{a}= a ^{\frac{1}{n}}$ ya que $\big( a ^{\frac{1}{n}}\big)^{n}$

$\sqrt [n]{a^m}= a ^{\frac{m}{n}}$ ya que $\sqrt [n]{a^m}=\big( a^m \big) ^{\frac{1}{n}}=a^{m \cdot \frac{1}{n}}=a ^{\frac{m}{n}}$

[editar] Propiedades de los radicales

$\sqrt[np]{a^{p}} = \sqrt[n]{a}$

ya que $\sqrt [np]{a^{p}} = a^{\frac {p}{np}} = a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$

Aplicaciones

Simplificar radicales $\sqrt[4]{25} = \sqrt[4]{5^{2}} = \sqrt{5}$
Pasar radicales a índice común. ¿Qué es más grande, $\sqrt[3]{534}$ ó $\sqrt{78}$ ?

$\sqrt[3]{534} = \sqrt[6]{534^{2}} = \sqrt[6]{285\,156}$ , $\sqrt[6]{78^{3}} = \sqrt[6]{474\,552}$ Por lo tanto $\sqrt[3]{534} < \sqrt{78}$

$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$

ya que $\sqrt[n]{a \cdot b} = (a \cdot b)^{\frac{1}{n}} = a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$

Aplicaciones

Sacar fuera de la raíz los factores que nos convengan. $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2}=$

$= \sqrt {5^{2} \cdot 2} = \sqrt {5^2} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot \sqrt{2}$

Agrupar radicales $\sqrt{23} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{230}$

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

ya que $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \bigg( \frac{a}{b} \bigg)^{\frac{1}{n}} = \frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

Aplicaciones

Gracias a estas tres propiedades podemos juntar castillos de fracciones en un solo radical:

$\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt[3]{4}}{\sqrt[6]{40}} = \frac{\sqrt[6]{5^3} \cdot \sqrt[6]{4^2}}{\sqrt[6]{5 \cdot 2^3}} = \sqrt[6]{\frac{5^3 \cdot 2^4}{5 \cdot 2^3}} = \sqrt[6]{2 \cdot 5^2} = \sqrt[6]{100} = \sqrt[6]{10^2} = \sqrt[3]{10}$

$\Big( \sqrt[n]{a} \Big)^p = \sqrt[n]{a^p}$

ya que $\Big( \sqrt[n]{a} \Big)^p = \Big(a^{\frac{1}{n}} \Big)^p = (a^{\frac{1}{n} \cdot p}) = \Big(a^p \Big)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a^p}$

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$

ya que $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \Big(a^{\frac{1}{n}}\Big)^\frac{1}{m} = a^{\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{n \cdot m}} = \sqrt[mn]{a}$

No se pueden sumar radicales distintos, sólo los semejantes (aquellos que tras simplificarlos tienen el mismo radicando y el mismo índice)

Es decir, yo no puedo sumar $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ ni tampoco $\sqrt[3]{5} + \sqrt{5}$

En cambio sí que puedo sumar $3\sqrt{7} + 6\sqrt{7} - \sqrt{7} = 8\sqrt{7}$

Hay veces que no es evidente:

$\sqrt{8}-\sqrt{50}+\sqrt{98} = \sqrt{2^3}-\sqrt{2 \cdot 5^2}+\sqrt{2 \cdot 7^2} =$

$= 2\sqrt{2}-5\sqrt{2}+7\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

A veces (muchas) nos interesará 'quitar' las raíces del denominador. Esto se hace multiplicando numerador y denominador por la expresión adecuada (este proceso se denomina racionalizar)

$\frac{1}{\sqrt[3]{49}} = \frac{1}{\sqrt[3]{7^2}} = \frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{7^2}\cdot\sqrt[3]{7}} = \frac{\sqrt[3]{7}}{7}$

$\frac{1}{7 - \sqrt{5}} = \frac{7 + \sqrt{5}}{\big(7 + \sqrt{5}\big)\big(7 - \sqrt{5}\big)} = \frac{7 + \sqrt{5}}{7^2-\big(\sqrt{5}\big)^2} = \frac{7 + \sqrt{5}}{44}$

[editar] Logaritmos

Motivación

En el pasado los logaritmos eran muy útiles para calcular productos de números muy grandes (recordemos que no habia calculadoras). Hoy en día se utilizan entre otras cosas para representar en un mismo gráfico diferentes ordenes de magnitud, los decibelios al fin y al cabo son logaritmos.

[editar] Logaritmos decimales

Un logaritmo decimal de un número ${P}\,\!$ se designa como $\log P\,\!$ , y el resultado es el número al que hay que elevar el ${10}\,\!$ para obtener ${P}\,\!$

$x=\log P \iff 10^x=P$

La primera vez que se ven los logaritmos uno se siente tal vez algo extrañado, por eso es bueno que se hagan pruebas para familiarizarse con ellos, por ejemplo decir cual es el $\log 245\,\!$ a base de tanteo $10 2,3 = 199$ $10 2,4 = 251$ $10 2,35 = 223$ y luego comprobar que vale log 245 con la calculadora.

[editar] Logaritmos de base cualquiera

Se define el logaritmo en base $a (a>0)\,\!$ de $P\,\!$ , y se escribe como $\log _a P\,\!$ , el exponente al que hay que elevar $a\,\!$ para obtener $P\,\!$

$\log_a P=x \iff a^x=P$

[editar] Logaritmo Neperiano

Es un logaritmo en base $e$ . Se representa como $ln$

$log e x = ln x$

[editar] Propiedades

El logaritmo de la base es uno $\log_a a=1\,\!$
El logaritmo de 1 es cero para cualquier base $\log_a 1=0\,\!$
Logaritmo de un producto $\log_a (P \cdot Q) = \log_a P + \log_a Q\,\!$
Logaritmo de un cociente $\log_a \left( \frac{P}{Q} \right) = \log_a P - \log_a Q\,\!$
Logaritmo de una potencia $\log_a P^n = n\, \log_a P\,\!$
Logaritmo de una raíz $\log_a \sqrt[n]{P} = \frac{1}{n} \log_a{P}\,\!$
Cambio de base $\log_a P = \frac{\log P}{\log a}$ Si nos fijamos esta propiedad nos permite calcular logaritmos de base cualquiera con una calculadora que solo disponga de logaritmo decimal.