Matemáticas/Matrices/Tipos de matrices

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Existen diversos tipos y clasificaciones de matrices:

Matríz cuadrada[editar]

Se dice que una matriz A es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas. Ejemplos de matriz cuadrada:


Puede ser una matriz con valores A\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})


   A =
   \begin{bmatrix}
      +4 & +7 & -9 \\
      +2  & +1  & +7 \\
      -5 & +6 & +9
   \end{bmatrix}


O también una matríz con subíndices (Genérica)B\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})


   B =
   \begin{bmatrix}
      b_{11} & b_{12} & b_{13}\\
      b_{21} & b_{22} & b_{23}\\
      b_{31} & b_{32} & b_{33}
   \end{bmatrix}


Puede ser de otro tamaño e incluso con variables C\in\mathcal{M}_{4\times 4}(\mathbb{R})


  C =
   \begin{bmatrix}
      +7 & +6 & 6 & -5\\
      +8 & (3*w) & +3 & -1\\
      -1 & +6 & (w+8) & +8\\
      -3& (6-w) & 0 & -6
   \end{bmatrix}

Se llama diagonal principal de una matriz A a la diagonal formada por los elementos  aii.
Se llama diagonal secundaria a la diagonal del cuadrado que no es la principal, tiene por extremos los elementos  a_{1,n} y  a_{n,1}, como características, todos los elementos tienen la particularidad que sus subíndices suman (n+1), por ejemplo  a_{8,  n-7}, donde 8 + (n - 7 ) = n + 1.

Matriz Rectangular[editar]

Es aquella matriz que no es cuadrada, esto es que la cantidad de filas es diferente de la cantidad de columnas.
Puede ser de dos formas; vertical u horizontal.

Matriz Vertical[editar]

Es aquella que tiene más filas que columnas.

Matriz Columna[editar]

Caso especial de matriz vertical que posee una sola columna.

Matriz Horizontal[editar]

Es aquella que tiene más columnas que filas.

Matriz Fila[editar]

Caso especial de matriz horizontal que posee una sola fila.

Matriz Diagonal[editar]

Se llama diagonal principal de una matriz A a la diagonal formada por los elementos aii.

Matriz diagonal, matriz cuadrada donde sus elementos  a_{ij} = 0  si  i \neq j .
La matriz identidad es una matriz diagonal.
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas o valores son todos nulas salvo en la diagonal principal, y éstos incluso pueden ser nulos o no. Otra forma de decirlo es que es diagonal si todos sus elementos son nulos salvo algunos de la diagonal principal. Ejemplos de matrices Diagonales:


Puede ser una matriz con valores A\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})


   A =
   \begin{bmatrix}
      +4 & 0 & 0 \\
      0  & +1  & 0 \\
      0 & 0 & +9
   \end{bmatrix}


O también una matríz con subíndices (Genérica)B\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})


   B =
   \begin{bmatrix}
      b_{11} & 0 & 0\\
      0 & b_{22} & 0\\
      0 &0 & b_{33}
   \end{bmatrix}


Puede ser de otro tamaño e incluso con variables C\in\mathcal{M}_{4\times 4}(\mathbb{R})


  C =
   \begin{bmatrix}
      +7 & 0 & 0& 0\\
      0& (3*w)& 0 &0\\
      0& 0 & (w+8) & 0\\
      0& 0 &0  & -6
   \end{bmatrix}

Matriz Escalonada[editar]

Es toda matriz en la que el número de ceros que precede al primer elemento no nulo, de cada fila o de cada columna, es mayor que el de la precedente.
Puede ser escalonada por filas o escalonada por columnas.

Matriz Triangular superior[editar]

Se dice que una matriz es triangular superior si todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz Triangular inferior[editar]

Se dice que una matriz es triangular inferior si todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son nulos.

Matriz Identidad[editar]

Se llama matriz identidad de orden n y se nota In a una matriz cuadrada de orden n en la que los elementos de la diagonal principal son 1 y el resto 0.
I_3\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})


   I_3 =
   \begin{bmatrix}
      1 & 0 & 0\\
      0 & 1 & 0\\
      0 &0 & 1
   \end{bmatrix}


La matriz identidad puede ser de cualquier tamaño, siempre y cuando sea cuadrada

Matriz Nula o Matriz Cero[editar]

Una matriz cero o matriz nula es una matriz con todos sus elementos nulos, o sea de valor cero. Algunos ejemplos de matrices nulas son:


0_{1,1} = \begin{bmatrix}
0 \end{bmatrix}
,\ 
0_{2,2} = \begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0 \end{bmatrix}
,\ 
0_{2,3} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
, etc.\

Por lo tanto, una matriz nula de orden mxn asume la forma:


0_{K_{m,n}} = \begin{bmatrix}
0_K & 0_K & \cdots & 0_K \\
0_K & 0_K & \cdots & 0_K \\
\vdots & \vdots &  & \vdots \\
0_K & 0_K & \cdots & 0_K \end{bmatrix}_{m \times n}

Una matriz cero es, al mismo tiempo,matriz simétrica, antisimétrica, nilpotente y singular.

Matriz Opuesta[editar]

Teniendo una matriz determinada, se llama matriz opuesta de la antes mencionada a aquella que tiene por elementos los opuestos de los elementos de la matriz original.

Matriz Traspuesta[editar]

Matriz traspuesta (At). Se llama matriz traspuesta de una matriz A a aquella matriz cuyas filas coinciden con las columnas de A y las columnas coinciden con las filas de A.


  • Para una matriz A \in M_{m\times n}(\mathbb{R}), se define la matriz transpuesta de A=(a_{ij}), denotada por A^t \in M_{n\times m}(\mathbb{R}), como A^t=B=(b_{ij}) \quad b_{ji}=a_{ij} \quad \forall i \in \{1,2,\dots,m\} \text{ , } j \in \{1,2,\dots,n\}. Es decir, las filas de la matriz A corresponden a las columnas de B y viceversa.



A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \end{bmatrix}
,    \ 
  A^t = \begin{bmatrix}
1 & 4 \\
2 & 5 \\ 
3 & 6 \end{bmatrix}
\

Matriz Simétrica[editar]

Una matriz es simétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta.

Matriz Antisimétrica[editar]

Una matriz es antisimétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a la opuesta de su traspuesta.

Matriz Ortogonal[editar]

Una matriz ortogonal es una matriz cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta.

Matriz Normal[editar]

Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y sólo si

A^{*}A=AA^{*}\,

donde A* es la matriz traspuesta conjugada de A (también llamado hermitiano)

Matriz Conjugada[editar]

Una Matriz conjugada es el resultado de la sustitución de los elementos de una matriz A por sus valores conjugados. Es decir, la parte imaginaria de los elementos de la matriz cambian su signo.

Ejemplo de matrices conjugadas


B = \begin{pmatrix}
2-5i & 3-5i & 3-i \\
4+3i & 4 &2+i \\
1& 3+2i & 1-4i
\end{pmatrix}, \overline{B} = \begin{pmatrix}
2+5i & 3+5i & 3+i \\
4-3i & 4 & 2-i\\
1 & 3-2i & 1+4i\end{pmatrix}

Matriz Invertible[editar]

También llamada matriz , no singular, no degenerada, regular.

Una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que

AA−1 = A−1A = In,

donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual. Una matriz tiene inversa siempre que su determinante no sea cero.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

Matriz Singular o Degenerada[editar]

También llamada no regular. Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero.

Matriz Permutación[editar]

La matriz permutación es la matriz cuadrada con todos sus n×n elementos iguales a 0, excepto uno cualquiera por cada fila y columna, el cual debe ser igual a 1.

Matrices iguales[editar]

Se dice que dos matrices A y B son iguales si tienen la misma dimensión y son iguales elemento a elemento, es decir, aij=bij i=1,...,n j=1,2,...,m.

Matriz Hermitiana[editar]

Una matriz Hermitiana (o Hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j.

Matriz definida positiva[editar]

Una matriz definida positiva es una matriz hermitiana que en muchos aspectos es similar a un número real positivo.

Matriz Unitaria[editar]

Es una matriz compleja U, de n por n elementos, que satisface la condición:

U^* U = UU^* = I_n\,

donde I_n\, es la matriz identidad y U^* \, es el traspuesto conjugado (también llamado el hermitiano adjunto o la hermítica) de U. Esta condición implica que una matriz U es unitaria si tiene inversa igual a su traspuesta conjugada U^* \,.

Una matriz unitaria en la que todas las entradas son reales es una matriz ortogonal.

Submatriz[editar]

A partir de una Matriz M, se llama submatriz M' a toda matriz obtenida suprimiendo p filas y q columnas en M. Si M es de orden mxn, M' será de orden (m-p)x(n-q), es decir con p filas menos y q columnas menos. Es evidente que p < m ; q < n.

Resto del capítulo Matrices[editar]