Matemáticas/Matrices/Teoremas

• Permutación de elementos por conjugados
• Permutación de líneas
• Determinante nulo
• Invariablidad del determinante
• Elementos de una línea nulos
• Multiplicación de una línea por una constante
• Elementos equimúltiplos
• Línea nula
• Adjunto y menor complementario
• Matriz triangular
• Sustitución de una línea
• Descomposición de una línea
• Combinación lineal

Teorema 1: Permutación de elementos por conjugados

Si se permutan cada elemento por su conjugado, es decir, si se cambian las filas por las columnas y las columnas por las filas, en forma tal que el orden de los elementos permanezcan invariable, el valor de la matriz, o sea, el determinante no cambia. Obsérvese que los subíndices se intercambian, esto es a_{1 ; 4} se transforma en a_{4 ; 1} y en general a _{j k} se transforma en a _{k j} .

Teorema 2: Permutaciones de líneas

El valor de un determinante, cambia de signo ( de positivo a negativo o de negativo a positivo) cuando en la matriz que representa se cambian entre sí dos filas o dos columnas.

Teorema 3: Determinante nulo

El determinante de una matriz que tiene dos filas o dos columnas iguales es nulo.

Teorema 4: Invariablidad del determinante

El valor de una matriz no cambia. El determinante es equivalente a una función lineal y homogénea de los elementos de una misma fila o columna.

Teorema 5: Elementos de una línea nulos

Si los elementos de una misma fila (o columna) son nulos, el desarrollo de la matriz en tales condiciones es también nulo, es decir su determinante es cero.

Teorema 6: Multiplicación de una línea por una constante

Al multiplicar todos los elementos de una columna o fila por una constante K el determinante queda multiplicado por k.

Teorema 7: Elementos equimúltiplos

Una matriz en la cual los elementos de dos líneas paralelas son proporcionales (equimúltiplos), el desarrollo de tal matriz es nulo, o sea su determinante vale cero. En otras palabras, una matriz es nula, si los elementos de una línea son proporcionales a los elementos de otra línea paralela a la primera.

Teorema 8: Línea nula

Una matriz que tiene nulos (valor cero) todos los elementos de una línea, columna o fila, su determinante vale cero.

Lema del menor complementario y del adjunto

Si tomamos el menor complementario y el adjunto de una matriz que correspondan al primer elemento de tal matriz, los valores de aquellos (adjunto y menor) son iguales, o sea que el adjunto es el determinante del menor complementario.

Teorema 9: Adjunto y menor complementario

El adjunto de un elemento cualquiera es igual al valor absoluto del menor complementario correspondiente al mismo elemento; tomando el signo positivo o negativo según que la permutación doble que se origina, al cambiar la posición del elemento considerado, a primer elemento, sea de orden par o impar respectivamente.

Teorema 10: Matriz triangular

Si una matriz tiene todos los elementos nulos a un lado de la diagonal principal, el valor del determinante de esta matriz, es el del producto formado por los elementos de la diagonal principal con el signo correspondiente.

Teorema 11: Sustitución de una línea

Si en una matriz reemplazamos una línea por una paralela a aquella, el valor de la matriz que resulta, es nulo.

Teorema 12: Descomposición de una línea

Si los elementos de una línea son p sumandos, se puede descomponer el determinante en sumas de p determinantes, que tienen las mismas líneas restantes y en lugar de aquella, la formada por los primeros sumandos, por los segundos sumandos, etc respectivamente. Dicho de otra forma, si una matriz tiene una línea formada por n elementos polinómicos, la matriz primitiva puede descomponerse en suma de n matrices del mismo orden.

Teorema 13: Combinación lineal

El desarrollo de una matriz, el determinante, no varía cuando se suman a los elementos de una línea, los que corresponden a otra paralela a la considerada multiplicados previamente por un número cualquiera c1, mas los elementos correspondientes de otra línea, siempre paralela a la considerada, multiplicados por otro número c2, etc ( o sea agregándole una combinación lineal de líneas paralelas) Este teorema permite simplificar los determinantes, reduciendo a cero varios elementos de una misma línea mediante sumas o restas convenientes, o sea sustituyendo una fila por una combinación lineal de las restantes. Cada elemento que se logra anular de este modo evita el cálculo de un menor complementario, al desarrollar el determinante por los elementos de una línea. Si se logra anular así todos los elementos de una línea excepto uno, el producto de éste por su adjuto es igual al determinante total. Si se logra anular a todos los elementos, entonces el valor del determinante es cero.