Matemáticas/Lógica/Proposición

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Una expresión que deba ser verdadera o falsa pero que no pueda ser ambas, la llamaremos una proposición.

Proposiciones abiertas[editar]

Existen algunas afirmaciones de las cuales no podemos decir inicialmente si son falsas o verdaderas por intervenir en ellas una variable; se les llaman proposiciones abiertas, son expresiones que contienen una variable y que al ser sustituidas dicha variable por un valor determinado, hace que la expresión se convierta en una proposición, pero sin alterar el orden.

Dominio de la variable[editar]

El conjunto que consiste de los elementos que pueden reemplazar a la variable de una proposición abierta, lo llamaremos el Dominio de la variable. El conjunto formado por aquellos elementos del dominio de la variable que hacen verdadera la proposición abierta p(x), lo llamaremos el conjunto solución de la proposición abierta p(x).

Proposición conjuntiva[editar]

A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo conjunción ( \and ), la llamaremos proposición conjuntiva; p  \and q, teniendo un valor de verdad verdadero, sólo cuando ambas componentes sean verdaderas, es decir, si al menos una de las componentes es falsa, entonces la proposición p  \and q es falsa.


Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces definiremos el conjunto A intersección B, que anotaremos por A ∩ B al conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al B, o sea, los elementos que tienen en común:

A ∩ B = { x / x ∈ A  \and x ∈ B }
Si P es el conjunto solución de la proposición p(x) y Q el de la proposición q(x), entonces el conjunto solución de p(x) ( \and ) q(x) es P ∩ Q.
El conjunto vacío que anotaremos Ø es el conjunto que no tiene elementos.
Pudiéndose anotar: Ø = { x / x ∈ A  \and x ∉ A }
Tabla de la verdad

p q p  \and q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Proposición disjuntiva[editar]

Para indicar que dos proposiciones están conectadas con la letra "o" se utiliza el símbolo \or , llamado conectivo disyuntivo. A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo disyunción (\or), la llamaremos proposición disyuntiva p \or q. p \or q tendrá un valor de verdad falso sólo cuando ambas componentes sean falsas, es decir, si al menos una de las componentes es verdadera, entonces p \or q es verdadera.

Sean A y B dos conjuntos, entonces definimos el conjunto A unión B, que anotaremos por A ∪ B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. A ∪ B = { x / x ∈ A  \or x ∈ B }

Un elemento del resultado puede pertenecer a uno solo de los dos conjuntos o a los dos conjuntos dados, pero en este caso dicho elemento se considera una sola vez. Si P es el conjunto solución de la proposición p(x) y Q el de la proposición q(x), entonces el conjunto solución de p(x)  \or q(x) es P ∪ Q.

Implicación o Condicional[editar]

Para indicar que dos proposiciones están conectadas, la primera implicando la segunda se utiliza el símbolo \Rightarrow , llamado conectivo condicional, la primera proposición es llamada antecedente o hipótesis y la segunda es consecuente o conclusión. A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo condicional, le llamaremos proposición condicional. p \Rightarrow q tendrá un valor de verdad falso solamente cuando el antecedente (p) es verdadero y el consecuente (q) es falso; en los demás casos diremos que p \Rightarrowq es verdadero. Entonces la implicacion resulta de que ambos tienen que ser iguales para que sea verdadero, de lo contrario seria falso....

Bicondicional, doble implicación[editar]

A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo bicondicional (\Leftrightarrow), la llamaremos proposición bicondicional.
Recordemos que p \Leftrightarrow q significa ( p \Rightarrow q )  \and ( q \Rightarrowp ) Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces p \Leftrightarrow q es verdadera.
Y si p y q tienen valor de verdad opuestos, entonces p \Leftrightarrow q es falsa.

La proposición\forall \, x, p(x) \Leftrightarrow q(x) es verdadera si y solo si P ⊂ Q y Q ⊂ P