Matemáticas/Aritmética/Texto completo

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La aritmética es el proceso de realizar ciertas operaciones con números o variables. Existen seis operaciones aritméticas cerradas; adición , sustracción, multiplicación, división, potencias y raíces.

Adición[editar]

\ 1 + 1 = 2

Para definir el número uno es una tarea bastante difícil, pero todos tenemos un buen sentido intuitivo de lo que la "unidad" es. La unidad es la propiedad de tener o pensar de una cantidad única. Por ejemplo, piensa en cuando usted tiene un dólar, un Kilogramo de papas, o un año luz. Desde aquí se puede definir recursivamente los números naturales mediante la asignación de un nuevo nombre para cada nuevo número de unidades que tenemos:

1 unidad uno
2 1 + 1 dos
3 1 + 5

+ 1 || tres

n 1 + 1 + … + 1 enes

Ahora que hemos nombrado los números podemos definir además el proceso de contar el número de unidades que tenemos. Por ejemplo,

\ 5 + 3 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1) + (1 + 1 +1)  = 8

Sustracción[editar]

Sustracción igualmente puede ser definida como recuento de la cantidad inicial de unidades y la eliminación de una cierta cantidad. Por ejemplo:

\ 5 - 3 = (1+1+1+1+1) - (1+1+1) = 2

significa, teniendo 5 unidades quitarle 3 unidades, dejando un resultado de 2 unidades.


Multiplicación[editar]

La multiplicación es una forma abreviada de adición repetida. Por ejemplo:

\ 5\cdot3 = 15

Lo que esto significa es sumar tres cinco veces, o sumar cinco en tres ocasiones.

\ 5\cdot3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15

Tenga en cuenta que en algunas regiones y de los casos, es mejor usar el símbolo de la cruz o la letra "x" en lugar del punto.

División[editar]

División es la operación opuesta a la multiplicación.


\ \frac{6}{3} = 2

El problema de división superior se pregunta si seis es 1 +1 +1 +1 +1 +1, y tres es 1 +1 +1, entonces en cuántos juegos de tres podemos separar a seis? La respuesta es, por supuesto 2, ya que

\ 6 = 1+1+1+1+1+1 = (1+1+1)+(1+1+1) = 3 + 3 ; dos partes de 3 unidades.

División es la primera operación que surge un problema. En todas las operaciones previamente definidas (adición, sustracción y multiplicación) podríamos realizar la operación en cualquier par de números que elegimos. Sin embargo, en la división no se puede dividir por cero. Mucho se dijo sobre este hecho a lo largo de la historia, e incluso a través de sus estudios en toda la matemática.


Potenciación[editar]

Las potencias son una abreviatura utilizada para la multiplicación repetida. Recuerde que cuando se introdujo por primera vez a la multiplicación era como una abreviatura de adición repetida. Por ejemplo, usted aprendió que: 4 × 5 = 5 + 5 + 5 + 5. La expresión "× 4", nos contó las veces que tuvimos que añadir. Los exponentes son el mismo tipo de taquigrafía para la multiplicación. Los exponentes se escriben en superíndice después de un número de tamaño normal.

Por ejemplo: 23 = 2 x 2 x 2. El número en letra más grande se llama la base. El número en superíndice (es decir, el número más pequeño escrito anteriormente) es el exponente. El exponente nos dice cuantas veces la base se multiplica por sí mismo. En este ejemplo, la base es 2 y el exponente es 3.

La expresión 23 se lee en voz alta como "2 elevado a la tercera potencia", o simplemente "2 al cubo".

Éstos son algunos otros ejemplos:

6 × 6 = 62 (Esto se leería en voz alta como "seis veces seis es seis elevado a la segunda potencia", o más simplemente "seis veces es seis al cuadrado.) "
7 × 7 × 7 × 7 = 74 (Esto se leería en voz alta como "siete veces siete veces siete veces siete es igual a siete elevado a la cuarta potencia." No hay alternativa para la expresión elevada a la cuarta potencia. Sólo los poderes segunda y tercera que por lo general reciben abreviado porque vienen más a menudo. Cuando está claro lo que se está hablando, la gente suele dejar caer las palabras "elevadas" y "potencia" y podría simplemente decir "siete a la cuarta".)

En general, un exponente de un número a la potencia de n

a x a x a ... = a^n

La base es "a" y es multiplicado por sí mismo n veces

Cuando nos fijamos en los exponentes más adelante en este libro veremos que cambiar el tipo de número que se utiliza para el exponente empieza a tener algunos resultados muy sofisticados. Para tener una idea acerca de por qué algunas personas disfrutan de las matemáticas leer acerca de la belleza matemática y la ecuación e^{i \pi} + 1 = 0\,\!.

Raíces[editar]

Las raíces son la operación inversa para exponentes. Es fácil, aunque tal vez tedioso, para calcular los exponentes dados una raíz. por ejemplo 7*7*7*7 = 49*49 = 2401. Por lo tanto, sabemos que la raíz cuarta de 2401 es 7, y la raíz cuadrada de 2401 es 49. ¿Cuál es la raíz tercera de 2401? Encontrar el valor de una raíz en particular es difícil. Esto se debe a la exponenciación es un tipo diferente de la función de suma, resta, multiplicación y división. Cuando nosotros, graficamos funciones veremos que los polinomios que utilizan curvas exponenciales de uso en lugar de líneas. Usando álgebra veremos que no todos estos polinomios son funciones, que saber cuándo un polinomio es una relación o una función nos puede permitir hacer ciertos tipos de supuestos, y podemos utilizar estos supuestos para construir modelos mentales de los temas que de otra manera imposible de entender.

Por ahora nos ocuparemos de raíces, al convertirlos de nuevo en exponentes.

The raíz n-ésima positiva de x se representa como \sqrt[n]{x} = r. Nos deshacemos de la raíz, elevando nuestra respuesta a la enésima potencia quedando r^n = x.\!\,

La noción de número es una de las más fundamentales en matemáticas. Su origen se remonta a la antigüedad y a través de los siglos ha pasado por un proceso de extensión y de generalización de los números reales...


    \mathbb{C} \mbox{    Complejos}
    \begin{cases} 
        \mathbb{R} & \mbox{Reales}
        \begin{cases}
            \mathbb{Q} & \mbox{Racionales }
                \begin{cases}
                    \mathbb{Z} & \mbox{Enteros}
                    \begin{cases}
                        \mathbb{N} & \mbox{Naturales}
                           \begin{cases}
                               & \mbox{1} \\
                               & \mbox{Primos}\\
                               & \mbox{Compuestos}
                           \end{cases}\\
                        0  & \mbox {Cero}  \\
                           & \mbox{Enteros negativos}
                    \end{cases}\\
                             & \mbox { }  \\   
                            & \mbox{Fraccionarios}
                            \begin{cases}
                               & \mbox{Fracciones propias}\\
                               & \mbox{Fracciones impropias}
                           \end{cases}\\
                             & \mbox { }  \\   
                \end{cases}\\
                       & \mbox { }  \\  
                       & \mbox{Irracionales}
                           \begin{cases}
                               & \mbox{Algebraicos irracionales}\\
                               & \mbox{Trascendentes}
                           \end{cases}\\

        \end{cases}\\
                                     & \mbox { }  \\   
              & \mbox{Imaginarios}
    \end{cases}

En el campo de la aritmética, cada número tiene un valor definido, así 30 siempre va a valer treinta, el símbolo del valor absoluto de un número se representa así:

|n| siendo n cualquier número entero, negativo o positivo

cabe resaltar que el valor de un número, esté precedido por el signo más o el signo menos, siempre será el mismo:

|3|=|-3|=3

de esto se deduce que:

|\pm \ n| = n

esto es porque el valor absoluto indica la distancia que hay en la recta numérica entre cualquier número y 0, y sea el número positivo o negativo, la distancia es la misma.

Como ya vimos en la clasificación de las cantidades, los Números Racionales, que serán estudiados a profundidad en este capítulo, se clasifican en ENTEROS y FRACCIONARIOS. Un número entero es, por ejemplo, 2, mientras que 0,5 ó 1⁄2 es un número fraccionario, que se puede escribir de esas dos maneras.


Números Enteros[editar]

Son aquellos números que indican una cantidad exacta. Sus operaciones básicas son, como en los otros tipos de números, suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, esta última operación se puede aplicar a un pequeño grupo de números enteros, a los cuadrados perfectos, cubos perfectos, etc.

Para sumar o restar dos números hay que tener en cuenta los signos de los mismos: para sumar dos números de iguales signos, se suman sus valores absolutos y se deja el signo que tienen; para sumar dos números con signos diferentes, se resta el valor absoluto del menor del valor absoluto del mayor y se deja el signo del mayor número.

Por ejemplo: -5-3=-8; 5+3=8; 5-3=2; -5+3=-2

La multiplicación es una suma abreviada, así 3+3+3+3+3 se puede escribir y efectuar como 3x5=15.

La división consiste en buscar un número que multiplicado por el divisor, dé como resultado el dividendo, este número buscado se llama cociente, muchas veces la división no es exacta y se obtiene un residuo. Las divisiones se pueden reprentar de las siguientes maneras:

8/2=8÷2=4, porque 4x2=8, de la misma forma: 26/13=26÷13=2, porque 2x13=26.

La poenciación es una multiplicación abreviada, consiste en dos elementos: la base, que es el factor que va a multiplicarse por sí mismo, y el exponente, que indica cuántas veces se va a multiplicar la base por sí misma: 3x3x3x3=3^4=81

La radicación, como se dijo anteriormente, es una operación que sólo puede ser aplicada a ciertos números racioneles para que el resultado siga siendo racional: si se va a aplicar raíz cuadrada, el número debe ser un cuadrado perfecto; si se va a aplicar una raíz cúbica, el número debe ser un cubo perfecto... Más adelante se explicará como se simplifican los números irracionales.

El resultado de una radicación es un número que al ser elevado al índice de la raíz, da como resultado la cantidad subradical.

√4=2; ∛27=3, cuando el índice de la raíz es 2, suele omitirse.

El ser humano siempre ha necesitado de la habilidad de contar, y además, de reunir cantidades separadas, hecho que origino la suma. Por ejemplo, cuando cogemos dos canicas por nuestra izquierda, y otras dos canicas por nuestra derecha, al unirlas (o sumarlas) originan cuatro canicas:

Suma.png
2 + 2 = 4

Propiedades de la suma[editar]

Las propiedades que cumplen la regla de la suma son dos: La propiedad conmutativa y la propiedad asociativa.

Propiedad conmutativa[editar]

El orden de los sumandos no altera el valor de la suma. Da igual resultado sumarle 5 a 3, que sumarle 3 a 5:

A + B = B + A

Propiedad asociativa[editar]

Al sumar varios números, el orden no varía de cualquier modo:

a + \left ( b + c \right ) = (a + b) + c = b + (a + c)


Suma de números naturales[editar]

Véase Clasificación de los números

2 + 2 = 4

En la imagen se ve que las dos cantidades son números naturales. Se realiza la operación al juntar las dos cantidades dadas.

Suma de números enteros[editar]

Véase Clasificación de los números

Cuando un número entero es sumado con otro número entero el resultado será igualmente un número entero.

Existencia de un número neutro[editar]

Al haber un número neutro (un cero):

  • Si son más de dos cantidades: se suman todas las demás cantidades de la forma regular y se omite el cero.
Por ejemplo: 5 + 3 + 0 = 5 + 3 = 8
  • Si solo son dos (un cero y un número n): se pasa el número n y se elimina el 0.
Por ejemplo 5 + 0 = 5

Existencia de un número opuesto[editar]

Se crea cuando exista un número negativo y uno positivo se restaran y se pondra el signo del número mas grande (por valor absoluto).

Por ejemplo: -8 + 2 = -6 porque 8 - 2 = 6 y el número más grande es 8, en este caso.

Suma de números fraccionarios[editar]

Véase Clasificación de los números''

Los quebrados son aquellos que se representan como una fraccion o un decimal.

Con el mismo denominador[editar]

Suma quebrados.png

Al tener el mismo denominador se facilita la operación. Solo se sumaran directamente los numeradores. En el ejemplo se puede apreciar que:

\frac {3}{6} + \frac {2}{6} = \frac {3+2}{6} = \frac {5}{6}

Con diferente denominador[editar]

5 y 8

Suma de números decimales[editar]

Véase Clasificación de los números

Los números decimales son números que parten en 10 a la unidad por cada uno de los espacios ocupados a la derecha.

Se suma como cualquier otro número de varios digitos pero tomando en cuenta el lugar del punto. Ejemplos:

2.3 + 5.4 = 7.7
2.4 + 5.67 = 8.07
Nota en esta ocasión se agraga un 0 imaginario a el 2.4 quedando 2.40


La suma de fracciones es una de las operaciones básicas que puede efectuarse sobre fracciones.

Suma de fracciones homogéneas[editar]

Suma de fracciones de igual denominador

Para sumar dos o más fracciones homogéneas, se suman los numeradores y se deja el denominador común.

Ejemplo:

 \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

Ejemplo:

 \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}

Suma de fracciones heterogéneas: Forma 1[editar]

La suma de dos o más fracciones heterogéneas se realiza de la siguiente manera:

  1. Se halla el mínimo común múltiplo de los dos denominadores.
  2. Se calculan los numeradores con la fórmula: numerador por denominador común y dividido por denominador.
  3. Se suman los numeradores (dado que las fracciones modificadas tienen el mismo denominador).
Suma de fracciones de distinto denominador

Ejemplo:

 \frac{1}{6} + \frac{4}{9}

1. Se calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m.), por lo que se tiene que  mcm (6, 9) = 18 \,\!

2. Se calculan los numeradores.

  • Numerador de la primera fracción: \frac{1\cdot18}{6} = 3 \,\!
  • Numerador de la segunda fracción: \frac{4\cdot18}{9} = 8 \,\!
  • La suma se reduce a las siguientes fracciones:
     \frac{3}{18} + \frac{8}{18}

3. Se suman los numeradores:

 \frac{3}{18} + \frac{8}{18} = \frac{11}{18}.
Otra presentación para sumar 1/6 con 4/9.

Se trabaja con 18 dólares, 1/6 de esa cantidad es 3. Se va separando en seis montones, cada uno tiene 3 dólares; luego divides en 9 montones; cada uno dos dólares, pero para 4/9 hay que tomar 4 montones, en total, 8 dólares. Sumando 3 del primero y 8 del segundo sale 11, que respecto al inicio representan 11/18. Por tanto

1/6 + 4/9 = 3/18 + 8/18 = 11/18. [1]



Se calcula el m.c.m., que en este caso es 18. Se ponen las fracciones con tal mcm como denominador. Acto seguido, se divide el mcm en el denominador inicial y el resultado se multiplica en el numerador inicial, y ya tenemos el numerador de la fracción cuyo denominador es el mcm.

Suma de fracciones heterogéneas: Forma 2[editar]

Ejemplo:

\frac{1}{6} + \frac{4}{9}

Se resolvería de la sig. forma:

 \frac{ 1 \cdot 9 + 6 \cdot 4} {6 \cdot 9} = \frac{33}{54}


La fracción resultante es  \frac{33}{54} y los  \frac{11}{18} es una reducción ya que si observamos el numerador y el denominador son divisibles por tres, de ahí resulta:

 = \frac{11}{18}

El método es multiplicar el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda, posteriormente se suma la multiplicación del denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción y todo eso dividido por la multiplicación de los dos denominadores.

Aquí no calculamos el mínimo común múltiplo (m.c.m.).

Una variante manejable[editar]

Suma extraordinaria de fracciones

Supongamos que España, en el primer partido del mundial, gana por 2-1; razón de goles a favor sobre goles en contra: 2/1. En el segundo partido gana por 5-2, razón de goles a favor y en contra es 5/2. En los dos partidos España ha marcado 2+ 5 = 7 goles; le han marcado 1+2 = 3 goles; la razón en este caso es 7/3, en los dos partidos.

De otro modo: 2/1 +* 5/2 = (2+5)/(1+2) = 7/3; Se coloca +*, para distinguir de la suma ordinaria o común o la más usual o la escolar. [2]

Referencias[editar]

  1. Peterson- Hashisaki: Teoría de la aritmética, ISBN 968-18-0672-7
  2. Kline Morris:Matemáticas para humanistas, ISBN 968-16-3093-9

Véase también[editar]

La resta o sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética; se trata de una operación de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar una parte de ella, y el resultado se conoce como diferencia o resto.

La resta de fracciones es una operación aritmética por la que partiendo de dos fracciones se obtiene una tercera que es la diferencia entre ambas.

Resta de fracciones homogéneas[editar]

Para restar dos ó más fracciones homogéneas, se restan los numeradores y se deja el denominador común y simplificamos

Ejemplo:

  •  \frac{7}{8} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8}

Resta de fracciones heterogéneas[editar]

La resta de dos o más fracciones heterogéneas se realiza de la siguiente manera:

1. Se halla el mínimo común múltiplo de los dos denominadores:

  •  \frac{6}{4} - \frac{1}{2}   (mínimo común múltiplo de 4 y 2)

2. Se calculan los numeradores con la fórmula: numerador antiguo (6) x denominador común (4) y dividido por denominador antiguo (4)

( 6*4/4=6 )

Numerador antiguo (1) x denominador común (4) y dividido por denominador antiguo (2) ( 1*4/2= 2 )

  •  \frac{6}{4} - \frac{1}{2} = \frac{6}{4}- \frac{2}{4}

3. Se procede como en la resta de fracciones de igual denominador (dado que las fracciones tienen el mismo denominador)

  •  \frac{6}{4} - \frac{2}{4} = \frac{4}{4}

La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar un número tantas veces como indica otro número. Así, 4×3 (léase «cuatro multiplicado por tres» o, simplemente, «cuatro por tres») es igual a sumar tres veces el valor 4 por sí mismo (4+4+4). La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica.


La multiplicación de fracciones es una operación aritmética, en la cual partiendo de dos fracciones se obtiene una tercera que será el producto de las anteriores.

Para multiplicar dos fracciones numéricas o algebraicas se multiplican sus numeradores y sus denominadores, por separado, teniendo así el numerador y el denominador de la fracción producto.

\frac{3}{5} \times \frac{9}{10} = \frac{3 \times 9}{5 \times 10} = \frac{27}{50}


\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}

Para resolver productos de fracciones debemos simplificar y posteriormente multiplicar numerador con numerador y denominador con denominador.

Véase también[editar]

La división es una de las operaciones aritméticas básicas. Para efectuarla se debe cumplir la condición de que:


\frac{a}{b} = c

y que


(b)(c) = a

Por ejemplo, sustituyendo los valores de a y b con los números 6 y 3 respectivamente, tenemos que


\frac{6}{3} = 2

cumpliéndose aquí la condición de que el producto de b y c equivale al valor de a. Cabe decir que no existe un resultado para la división por cero, por lo tanto, un error muy común es suponer que la división por cero es una operación matemática válida.


La división de fracciones es una operación aritmética por la que partiendo de dos fracciones se obtiene una tercera, que es la división de la primera entre la segunda, se puede realizar siguiendo tres métodos que, lógicamente, darán el mismo resultado:

Multiplicar de forma cruzada[editar]

Multiplicar de "forma cruzada" las fracciones, es decir, multiplicar numerador por denominador, y denominador por numerador:

Ejemplo:

 \frac{2}{5} : \frac{3}{8} = \frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 3} = \frac{16}{15}

Fracciones[editar]

"Invertir" la segunda fracción y multiplicar "directamente", es decir, numerador por numerador, y denominador por denominador:

Ejemplo:

 \frac{8}{9} : \frac{5}{4} = \frac{8}{9} \cdot \frac{4}{5} = \frac{32}{45}


Representar como fracción de fracciones[editar]

Se representa una fracción en el numerador y la segunda en el denominador, se simplifica en otra fracción, donde se divide el producto de extremos entre el producto de medios:

Ejemplo:

 \frac{3}{2} : \frac{5}{7} = \cfrac {\; \cfrac{3}{2} \;\;}{ \; \cfrac{5}{7} \;\;} = \frac{3 \cdot 7}{2 \cdot 5} = \frac{21}{10}

Una vez terminado el ejercicio hay que simplificar, si se puede.

Véase también[editar]

La potenciación es la operación matemática mediante la cual multiplicamos un número por sí mismo las veces que nos indique el exponente.

Partes del número con exponente

Por ejemplo, la ecuación a^{3} donde a es un número cualquiera, equivale a la ecuación


a^{3} = (a)(a)(a)

es decir que cumplimos la condición de multiplicar por sí mismo nuestro número (a) tres veces, tal como lo indicó el exponente (3)

Leyes de los exponentes[editar]

De acuerdo a las leyes básicas de los exponentes, sabemos que las operaciones como la multiplicación de términos homogéneos (en nuestros ejemplos el término será x) con exponentes diferentes serán:

Multiplicación de exponentes[editar]

Dado el caso de la multiplicación de dos números iguales (representados por la literal x) con exponentes diferentes, tenemos que  x^{n}x^{m} = x^{n+m}

Por ejemplo, en la ecuación  x^{2}x^{3} = x^{2+3} = x^{5}

debido a que x^{2}=(x)(x) y x^{3}=(x)(x)(x), por lo tanto, la ecuación de arriba se puede expresar como


x^{2}x^{3} = (x)(x)(x)(x)(x) = x^{5}

División de exponentes[editar]

Dado el caso de la división de dos números iguales (representados por la literal x) con exponentes diferentes, tenemos que


\frac{x^{m}}{x^{n}} = x^{m-n}


Por ejemplo, en la ecuación


\frac{x^{3}}{x^{2}} = x^{3-2} = x

Esto porque, dicho de otra forma, podemos decir que la ecuación anterior es igual a la siguiente ecuación


\frac{(x)(x)(x)}{(x)(x)} = x^{3-2} = x

Entonces, de acuerdo a la ley de las divisiones, en donde teniendo términos similares como divisores y como dividendos de una ecuación, dichos términos iguales se anulan, y siguiendo esta lógica, tenemos que dos de los términos de arriba de la división (dividendos) se anulan con los dos términos de abajo de la división (divisores). Quedando como resultado solamente la x restante del dividendo.

En el caso de tener como divisor un exponente mayor que el exponente del dividendo, tenemos el caso de un exponente negativo, el cual se puede expresar como


\frac{x^{2}}{x^{4}} = x^{2-4} = x^{-2}

Y expresado en forma de fracción, el número x^{-2} equivale a


x^{-2} = \frac{1}{x^{2}}

Esto porque, de igual forma que se anulan los dos términos en el primer ejemplo, aquí se anulan todos los términos de x que se encuentran en el dividendo, de forma que


\frac{x^{2}}{x^{4}} = \frac{(x)(x)}{(x)(x)(x)(x)} = \frac{1}{x^{2}}