Matemáticas/Aritmética/Operaciones con números complejos

Índice de la sección «Aritmética»

Clasificación de los números Introducción a las operaciones básicas Suma Suma de fracciones Resta Resta de fracciones Multiplicación Multiplicación de fracciones División División de fracciones Potenciación Radicación Logaritmación Operaciones con números complejos Los números Sistema de numeración (A CORREGIR)

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i).
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.
Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo. Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:

Suma

Para sumar números complejos, se siguen las normas básicas de la aritmética, sumando los reales con los reales y los imaginarios con los imaginarios:

$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \,$

Ejemplo de suma:

$(4 + 2i) + (3 + 2i) = 4 + 2i + 3 + 2i = 4 + 3 + 2i + 2i = (4 + 3) + (2 + 2)i =$

el resultado es 7 + 4i

Resta

Al igual que en la suma, se opera como con los números reales ordinarios:

$(4 - 2i) - (3 + 5i) = (4 - 3) + (-2i - 5i) = (4 - 3) + (-2 - 5)i = 1 - 7i \,$

(6-4i)-(6+5i)= 6-6+[(-4-5)i= -9i

Multiplicación

Para multiplicar dos números complejos, se multiplica cada término del primero por los dos del segundo, con lo que obtenemos 4 términos:

$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \,$

Obsérvese que el término $bdi^2$ pasa a ser $-bd$. Eso es porque $i^2 = - 1$. Ejemplo:y asi queda

$(4 + 2i)(3 + 2i) = 4 \cdot 3 + 4 \cdot 2i + 2 \cdot 3i + 2 \cdot 2i^2 = (4 \cdot 3 - 2 \cdot 2) + (4 \cdot 2 + 2 \cdot 3)i = 8 + 14i \,$

División

La división de números complejos requiere un mayor trabajo que la multiplicación y partimos de un artificio previo, basado en que el producto de un numero complejo por su conjugado da como resultado un número real:

$(a + bi) (a - bi) = a^2 -abi +bai +b^2 = a^2 +b^2 \,$

si la división de dos números complejos, la multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador:

$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{ac -adi +bci + bd}{c^2 -cdi +cdi +d^2} =$

$= \frac{ac + bd +(bc - ad) \; i}{c^2 + d^2} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad} {c^2 + d^2} \; i$

Potencias

Para elevar un número complejo a un exponente entero, se aplican las identidades notables. Se debe tener en cuenta la igualdad $i^2 = - 1$:

$(6 - 3i)^2 = 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3i + (3i)^2 = 36 - 36i - 9 = 27 - 36i \,.$