Matemáticas/Álgebra/Ecuaciones/Ecuaciones exponenciales

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Caso A[editar]

Teniendo que ambos miembros de la ecuación se pueden expresar como potencia de la misma base, se resuelven poniendo ambos miembros como potencias de la misma base e igualando los exponentes. Ejemplo de este caso: resolver la ecuación 2^{x + 3} + 2^x = 72 \, . Se siguen los siguientes pasos:

  • 2x + 3 puede expresarse como 23 · 2x:

2^3 \cdot 2^x + 2^x = 72 \,

  • se opera con todos los exponentes posibles:

8 \cdot 2^x + 2^x = 72 \,

9 \cdot 2^x = 72 \,

  • En este caso se puede simplificar ambos términos dividiendo entre 9:

2^x = 8 \,

  • Ahora es sencillo resolver la ecuación factorizando el segundo término y sustituyendo:

2^x = 2^3 \rightarrow\ x = 3 \,

Caso B[editar]

En este caso puede realizarse un cambio de variable. Es el caso de 9^x - 7 \cdot 3^x - 18 = 0 \, . Se siguen los siguientes pasos:

  • Se factoriza 9 en 32 para que tenga la misma base que 7 · 3x:
3^{2x} - 7 \cdot 3^x - 18 = 0 \,
  • Se realiza el cambio de variable 3x = z, por lo que 32x = z2, y tenemos:
z^2 - 7z - 18 = 0 \rightarrow\ z = \frac {7 \pm \sqrt {49 + 72}} {2} = \frac {7 \pm 11} {2} \rightarrow\ z_{1} = 9 ; z_{2} = -2\,
  • Se deshace el cambio de variable:
3^x = 9 \rightarrow\ 3^x = 3^2 \rightarrow\ x = 2

La única solución es x = 2, ya que las potencias de 3 siempre son positivas, por lo que 3x = - 2 no puede cumplirse.

Caso C[editar]

Cuando la ecuación no puede realizarse por medio de ninguna de las dos maneras anteriores, se pueden aplicar logaritmos. Tal es el caso de 5^{x + 2} - 3^x = 0 \,.

Lo que sucede acá es que hay una igualdad, es decir, ambos lados de la ecuación tienen el mismo valor o son lo mismo, si a un lado de la igualdad se le resta -3^x y al otro lado también entonces la igualdad se mantiene, de esta forma se realizan los despejes de variables para conocer el valor de la incógnita (x) en la ecuación.

  • Se transponen términos (en este caso el término negativo pasa al otro lado sumando):
5^{x + 2} = 3^x \,
  • Se aplican logaritmos decimales a los dos términos:
(x + 2)log 5 = x log 3 \,
  • Se opera con las propiedades de los logaritmos y se transponen términos:
x log 5 + 2 log 5 = x log 3 \,
x log 5 - x log 3 = - 2 log 5 \,
x(log 5 - log 3) = - 2 log 5 \,
x = \frac {- 2 log 5} {log 5 - log 3}  \,
x \approx - 6,30  \,