Introducción al cálculo integral

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Integral as region under curve.svg

La idea del cálculo integral consiste en calcular, en general, superficies curvilíneas, es decir, el área entre la gráfica de una función y el eje-x.

Estamos de acuerdo con la siguiente notación:

\int\limits_a^b f(x)\,\mathrm dx

Es la integral definida de la función f de [variable] x [los límites] de A a B. Se pretende que la zona entre la curva y los ejes como en la imagen de arriba S. Más específicamente, es que esta es una integral de Riemann (por ejemplo, Riemann), hay también integrante líneas generales.

El cálculo integral se refiere al cálculo de integrales tales.

Aspecto geométrico[editar]

Para hacer la integral de manera sistemática "de vuelta al espacio", que es abordado por las llamadas sumas superior e inferior de rectángulos cada vez más precisos.

Las áreas de los rectángulos ahora se pueden calcular fácilmente, así que tenemos un límite superior y un límite inferior para la zona.

\int_0^1 x^2\mathrm dx >R_1\, +R_2\, +R_3\, +R_4\,
=\frac14\cdot0^2 +\frac14\cdot\left(\frac14\right)^2 +\frac14\cdot\left(\frac24\right)^2 +\frac14\cdot\left(\frac34\right)^2,\qquad\text{donde cada rectangulo }\tfrac14\text{ largo y tan alto}
= 0{,}21875\,

Analógamente la suma superior calculada:

\int_0^1 x^2\mathrm dx <R_1\, +R_2\, +R_3\, +R_4\,
+\frac14\cdot\left(\frac14\right)^2 +\frac14\cdot\left(\frac24\right)^2 +\frac14\cdot\left(\frac34\right)^2 +\frac14\cdot\left(\frac44\right)^2
= 0{,}46875\,

Entonces vale:

0{,}21875<\int_0^1 x^2\mathrm dx< 0{,}46875

Para un enfoque general[editar]

Aqui se tiene para la n-esima suma por defecto U_n:

U_n=\frac1n\cdot0^2+\frac1n\cdot\left(\frac1n\right)^2+\frac1n\left(\frac2n\right)^2+\frac1n\cdot\left(\frac3n\right)^2+\cdots+\frac1n\cdot\left(\frac{n-1}n\right)^2

y la n-esima suma por exceso O_n:

O_n=\frac1n\cdot\left(\frac1n\right)^2+\frac1n\left(\frac2n\right)^2+\frac1n\cdot\left(\frac3n\right)^2+\cdots+\frac1n\cdot\left(\frac nn\right)^2

Y para sacar el valor exacto de la Integral, definimos formalmente

\int_1^2x^2\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}U_n=\lim_{n\to\infty}O_n

que en el caso es la igual.

Primero sacamos por la suma por exceso:

\left.O_n=\frac1n\cdot\left(\frac1n\right)^2+\frac1n\left(\frac2n\right)^2+\frac1n\cdot\left(\frac3n\right)^2+\cdots+\frac1n\cdot\left(\frac nn\right)^2\qquad \right|\text{ factorizamos por }\tfrac1n\text{, quadriere die }\mathrm{Br\ddot uche}
=\left.\frac1n\left[\frac{1^2}{n^2}+\frac{2^2}{n^2}+\frac{3^2}{n^2}+\cdots\frac{n^2}{n^2}\right]\qquad\qquad\qquad \right|\text{ resolvemos }\tfrac1{n^2}\text{ las potencias}
=\frac1n\left[\frac1{n^2}\cdot\left(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\right)\right]\qquad\text{ con }1^2+2^2+3^2+...+n^2=\tfrac16n(n+1)(2n+1)
=\left.\frac1n\left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^2}\right]\qquad\qquad\qquad\right|\text{ resolviendo el parentesis, }\tfrac1n\text{se simplifica}
=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}
=\frac{2n^2+3n+1}{6n^2}
=\frac{2n^2}{6n^2}+\frac{3n}{6n^2}+\frac1{6n^2}
=\frac13+\frac1{2n}+\frac1{6n^2}

Con lo que el valor limite será:

\lim_{n\to\infty} O_n=\lim_{n\to\infty} \frac13+\frac1{2n}+\frac1{6n^2}=\frac13.

Para la suma por defecto se tiene

U_n=O_n-\frac1n\cdot1^2

y de todos modos analógamente

\lim_{n\to\infty}U_n=\frac13.

entonces tenemos:

\int\limits_0^1x^2\mathrm dx=\frac13.

Corolario[editar]

La sabiduría de las Matemáticas "La diferenciación es un arte, la integración de un arte" ya se ha señalado, no existe un procedimiento general para la determinación (exacto) de una integral, es decir, en particular, la función potencial. Hay técnicas como la integración por partes o por sustitución, con la que uno - es parte integral de - pero incluso con una buena "mente matemática".

Otros conceptos son parte integral de la integral de Lebesgue y la integral de Stieltjes, una superior y un límite inferior de la zona.