Informática Educacional/Ajuste a las ecuaciones de Excel

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NOTAS SOBRE LA REGLA DE APLICACIÓN GENERAL PARA EL AJUSTE NECESARIO A LAS ECUACIONES QUE GENERA EXCEL

Carlos L. Solórzano (puravida97@yahoo.com) Costa Rica, Octubre de 2004

Existe una divergencia entre la formulación de la ecuación que emite Excel y la formulación real de la correspondiente relación. Hay necesidad de realizar un ajuste en la formulación generada para que la misma sea congruente con los datos aportados. En estas notas se indica la naturaleza de tal ajuste.

1. Cuando en un gráfico de Excel se genera una línea de tendencia y se solicita la correspondiente ecuación, la Hoja Electrónica plantea una ecuación que debe ser ajustada (corregida).
2. El ajuste se requiere pues el generador de ecuaciones hace una transformación de la variable independiente. Dicha transformación modifica el primer valor de la variable independiente en la unidad (1) y sucesivamente, cada nuevo valor de la variable independiente lo transforma en 2, 3, 4, 5 , etc.
3. Hay necesidad de determinar la Regla de Transformación de variables independientes. Si definimos X como la variable independiente real y “x” como la variable transformada entonces se tendrá un criterio tal que X = T(x).
4. En el caso de relaciones en las que la variable independiente varíe de forma es-table es decir: ∆X es constante, entonces la transformación será sencilla y de la forma X = ∆X * x o de una manera más genérica hay necesidad de determinar la función inversa de la transformación y por ende x = T -1 (X) y usar esta transformación inversa en la ecuación generada por la Hoja Electrónica para que la Ecuación sea compatible con los valores reales.
5. Si se tiene una función cuya ecuación real es f(X) = mº * X + bº. Al generar el gráfico y la ecuación correspondiente Excel plantea una ecuación que corresponde a f(x)=m*x + b donde los valores de x son 1, 2, 3, etc.
6. La Hoja ha realizado una transformación de variables tal que T(x) = X de donde la transformación inversa será T -1(X) = x.
7. La función generada por Excel se ajusta usando como variable la transformación inversa de la variable y por ende f(X) = m * T -1 (X) + b.
8. Esta función de la transformación inversa debe ser idéntica a la función real y por ende:

m * T -1 (X) + b = mº * X + bº 

1. De ello se tiene que la Transformación inversa debe siempre cumplir con la regla general que indica que:

T -1 (X)  =  (mº *X + bº - b) / m.

1. En el caso de funciones de grado mayor que uno el procedimiento debería ser similar a lo indicado en las presentes notas, aunque cada vez más complicado como es de esperar.
2. Para el caso de la función de segundo grado se tendrían:la función real o efectiva f(X) = aº X2 + bº X + cº, la función generada f(X) = aX 2 + bX + c, la Transformación T(x) = X y la correspondiente Transformación Inversa T -1(X) = x.
3. Ajustando la función generada, al usar como variable la transformación inversa se tendría

f(X) =  a [T -1(X)] 2  + b[T -1(X)] + c.

1. Al verificar la igualdad entre la función generada ajustada y la función real se tendría obligatoriamente que aº X 2 + bº X + cº = a[T-1(X)]2 + b[T-1(X)] + c, o equivalentemente: a [T-1(X)]2 + b[T-1(X)] - aº X2 - bº X – cº + c = 0 que corresponde a una sencilla ecuación cuadrática con una variable; [T-1(X)]
2. Para facilitar el manejo definimos las soluciones con el símbolo φ. Las soluciones de la ecuación cuadrática vendrían dadas por:

φ = -b ± √ [b2 + 4c( aº X2 + bº X +cº - c)] / 2a
φ = -b ± √ [b2 + 4aºc X2 + 4bºc X + 4cºc - 4c2)] / 2a 

1. Estas soluciones corresponden pues a la transformación inversa necesaria de introducir en la función cuadrática generada, para que los valores aportados por Excel sean reales. Habría necesidad de evaluar las soluciones y analizar su naturaleza i.e. verificar si las soluciones son reales, imaginarias, dobles o sencillas.

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