Estadística/Distribución Chi-Cuadrada

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MODELO DE DISTRIBUCION \quad X^2 (CHI CUADRADO) DE PEARSON \,

-Definición:\, Sea Z1,Z2,...,Zk donde "k" son variables aleatorias normales e independientes, cada una con media 0 y desviación típica. Entonces, la variable aleatoria:

                                      X^2 = \quad Z_1^2 + \quad Z_2^2 +...+ \quad Z_k^2 \,

es una variable chi cuadrado con k grados de libertad. Una variable aleatoria continua "i" tiene una distribucion Chi Cuadrado con parámetro "n", que denotaremos: X2(n), si su función de distribución (fd) es:

                                      f(n) = 
                                              \begin{cases} 
                                               \cfrac{e^{-i/2} * i^{n/2-1}}{G(n/2) * 2^{n/2}}  & \mbox{si } 0 < i < \infty
                                               \\
                                               0 & \mbox{si } i <= 0
                                               \end{cases}

donde "G" es la funcion Gamma:

                                      G(x) = \int\limits_{0}^{\infty}  t^{x-1} e^{-t} \, dt

Propiedades: \,

                 *Sus valores son siempre positivos.
                 *Asimétrica. 
                 *A medida que aumenta k, la curva de densidad de la función está  menos  inclinada hacia la derecha y más simetrica a la moda.
                 *Posee la propiedad reproductiva: si Z1 es X2(n1) y Z2 es X2(n2) donde ambas son independientes, entonces Z1 + Z2 es X2(n1 + n2).
                 *E(x) = K, donde E(x) es la esperanza matemática de la variable aleatoria "x".
                 *\delta(x) = \sqrt{2K} donde δ(x) es la desviación típica de "x".
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