Estadística/Cálculo de probabilidades/Aleatoriedad y probabilidad/El acto probabilístico

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Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Beispiel

300px|thumb|Wie hängen Kariesfälle und Zahnputzgewohnheit zusammen?

Einige Jahre später wurde in der Grundschule von Musterdorf zu Forschungszwecken wieder an 200 Kindern eine Reihenuntersuchung zur Zahngesundheit durchgeführt. Jetzt putzten sich 60 % der Kinder regelmäßig die Zähne. Von diesen Kindern hatten 40 Karies. Bei den Zahnputzmuffeln hatten 60 Kinder Karies.

Wir wollen ein maßstabsgetreues Venndiagramm konstruieren. Jedes Kästchen steht für 5 Kinder. Es sind

P(Z) =  0{,}6; \qquad P(\bar Z) = 0{,}4;
P(Z \cap K) = 0{,}2; \qquad P(Z \cap \bar K) = 0{,}4;
P(\bar Z \cap K) = 0{,}3; \qquad P(\bar Z \cap \bar K) = 0{,}1.

Wir interessieren uns nun für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind Karies hat, wenn bekannt ist, dass es sich die Zähne putzt:

P(K|Z).

In andere Worte gekleidet: Der Anteil der Kinder mit Karies an den Kindern, die sich regelmäßig die Zähne putzen.

Es gilt für die bedingte Wahrscheinlichkeit

P(K|Z)= \frac{P(K \cap Z)}{P(Z)}.

Wie ist diese Wahrscheinlichkeit zu verstehen?

Es werden zunächst alle Kinder, die sich regelmäßig die Zähne putzen, in die Aula geschickt. Aus diesen 120 Kindern wird nun zufällig eins ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat dieses Kind Karies? Wir betrachten also 120 zahnputzende Kinder, davon haben 40 Kinder Karies.

Genau diese Vorgehensweise ist das Prinzip der bedingten Wahrscheinlichkeiten!

Es ergibt sich: P(K|Z) = \frac{40}{120} = \frac{1}{3}.

Ein Drittel der zähneputzenden Kinder hat Karies: Dann haben natürlich zwei Drittel der zähneputzenden Kinder keine Karies. Wir sehen sogleich, dass die obige Rechnung die schon bekannte Formel

300px|thumb|Wie teilen sich die Kariesfälle bezüglich der Zahnputzgewohnheiten auf?

P(K|Z)= \frac{P(K \cap Z)}{P(Z)}= \frac{ \frac{40}{200}}{ \frac{120}{200}}= \frac{40}{120}= \frac{1}{3},

darstellt. Entsprechend erhalten wir

P(\bar K|Z)= \frac{P(\bar K \cap Z)}{P(Z)}= \frac{ \frac{80}{200}}{ \frac{120}{200}}= \frac{2}{3},
P(K|\bar Z)= \frac{P(K \cap \bar Z)}{P(\bar Z)}= \frac{\frac{60}{200}}{ \frac{80}{200}}= \frac{3}{4},
P(\bar K|\bar Z)= \frac{P(\bar K \cap \bar Z)}{P(\bar Z)}= \frac{ \frac{20}{200}}{ \frac{80}{200}}= \frac{1}{4}.

Vergleichen Sie das Venndiagramm mit dem vorhergehenden! Wieso unterscheiden sich beide Diagramme?

Übung

Es ist bekannt, dass die Aktienkurse des Unternehmens Dachs an 55% aller Börsentage gestiegen sind.

Ereignisse: K1: Der Kurs steigt am ersten Tag K2: Der Kurs steigt am zweiten Tag

Man hat folgende Gesetzmäßigkeit der Kursentwicklung festgestellt: In 40 % aller Beobachtungen stieg der Kurs am ersten Tag und am zweiten Tag, in 15 % der Beobachtungen stieg der Kurs am ersten Tag und fiel am zweiten Tag. Dagegen fiel in 15 % der Beobachtungen der Kurs am ersten Tag und stieg am zweiten Tag. An den restlichen Tagespaaren fiel der Kurs an beiden Tagen.

  1. Stellen Sie die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten im Venndiagramm grafisch dar.
  2. Sind die Ereignisse K1 und K2 stochastisch unabhängig? (Begründen Sie die Antwort formal mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie.)
  3. Am heutigen Tag ist der Kurs gestiegen.
    • Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er morgen steigen (Gesucht: P(K2|K1))?
    • Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er dagegen fallen?
  4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Kurs morgen steigen, wenn er heute gefallen ist?-->