Estadística/Cálculo de probabilidades/Aleatoriedad y probabilidad

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Ejemplo del "pedazo de pizza" para conceptualizar la probabilidad[editar]

Harry y Paula van a una pizzeria. Ellos están recién empezando una relación. Paula ordena la mitad de su pizza con salami y Harry con jamón. Luego ellos comparten su pizza, en lo que notan que dejan de compartir un pedazo de afuera o un pedazo central de la pizza. Sin embargo, a Harry que normalmente le gusta mas lo de afuera, no se preocupa de eso en su actual situación. Y también paula deja su mitad de afuera por casualidad. Cuán grande es verdaderamente la probabilidad, que Harry tenga dos pedazos de pizza de su preferencia del total?

La respuesta correcta sería 1/4. Pero porque obtenemos la probabilidad precisamente de 1/4?

Obtenemos un proceso: Para inicios iguales (condición compleja) se puede intentar intercambiando dos mitades de los pedazos aleatoriamente, haciendolo repetidamente frecuente a voluntad. Cada ocasión tiene un desenlace incierto. Se trata aqui de una operación aleatoria (experimento, intento).

La operación aleatoria se puede tambien describir a través de:

  • Iguales condiciones complejas
  • Desenlace incierto
  • Repetidamente frecuente a voluntad

Un determinado par de mitades de pedazos del plato de Harry es un resultado. Un resultado sería por ejemplo: la primera mitad es un pedazo del borde, y el segundo pedazo es uno de la mitad,

(R;M) o solo RM (R para el borde y M para la mitad)

donde la parte "izquierda" le corresponderia a Harry y la "derecha" a Paula.

Todos los pares posibles se resumen en el Conjunto solución Ω:

Ω es también el conjunto de todas las posibles soluciones que se puedan presentar en un proceso aleatorio. Se lleva a cabo este proceso frecuentemente infinito, debíendo resultar presumiblemente en un 25% de todos los intentos dos pedazos de la mitad. Luego se podría con eso indicar que cada uno en la pareja tiene la misma probabilidad de sacar un pedazo. El número del resultado, llamado |Ω|, es cuatro. Por eso es la probabilidad para un par de pedazos del borde
P(RR) = \frac{1}{4}\;.

Si ahora resulta para un intento de ejemplo "RM", esto es un acontecimiento.

Para un "RM" se trata de un acontecimiento elemental. Es un acontecimiento que solo contiene un elemento en el conjunto de resultados.

Hay tambien complicados acontecimientos compuestos:

A: Al menos un pedazo de la mitad: A = {RM, MR, MM}
B: Un pedazo completo: B = {RM, MR}

Estos acontecimientos incluyen mas resultados de Ω; un acontecimiento es siempre un subconjunto de Ω.

La probabilidad como concepto teórico[editar]

Pequeña historia general[editar]

Hay ahora aplicadas tantas probabilidades como Homo Sapiens existen. El último día de la batalla en el bosque de Teutoburger (9 d.n.e.) había una tormenta. Los romanos interpretaron eso como un aviso ejemplar de Mercuirio, el dios del relámpago y del trueno. Los germanos miraban eso como el aliento se Tor, dios de la guerra. Como se conoce, tenían ambas partes la razón.

En el siglo 17, la época del racionalismo, Blaise Pascal (1623 - 1662) se ocupaba sistemáticamente de la probabilidad de un juego de azar y asi fundamentó el cálculo de probabilidades como una disciplina autónoma.

Jakob Bernoulli (1654 - 1705) se interesaba asimismo de las preguntas de la probabilidad discreta y publicó su primer libro sobre cálculo de probabilidades.

Con Abraham de Moivre (1667 - 1754) y Pierre Simon Laplace (1749 - 1827) se descubrió pronto la distribución normal y Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855) continúo su desarrollo.

Richard Edler von Mises (1883 - 1953) proporcionó artículos con mucho valor para el cálculo de las probabilidades y de la matemática estadística.

En 1933 el matemático ruso Andrej Nikolajewitsch Kolmogorow (1903 - 1987) propusó una definición axiomática de probabilidad, de la que se basa la actual teoría de probabilidades. Esta definición es una aplicación de la teoría de medidas.

Resultados y Acontecimientos[editar]

El concepto actual del cálculo de probabilidades se presenta del siguiente modo:

Dado el Conjunto solución (Espacio de eventos, espacio de pruebas) Ω de un suceso aleatorio. Éste conjunto contiene todas las posibles soluciones que un suceso aleatorio puede dar. Dependiendo del tipo de suceso aleatorio se puede contemplar diferentes conjuntos solución:

Ω contiene muchas fínitas soluciones.

Ejemplos:
  • Suceso aleatorio: lanzar los dados. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  • Suceso aleatorio: color de ojos de la siguiente persona que se presenta en un casting. Ω = {azules, verdes, cafés, negros}.


Ω contiene un infinito contable de muchos resultados.

Ejemplos:
  • Suceso aleatorio: número de autos que a las 12 del medio dia conducen por un contador de autos en un determinado lugar. Ω = {0, 1, 2, 3, ...}.
  • Suceso aleatorio: número de requisitos en un servidor en una hora. Ω = {0, 1, 2, .....}.
Se puede contabilizar los resultados pero no se puede designar ningun razonable limite superior, por eso se deja el límite superior abierto.


Ω contiene muchos incontables resultados. Se podría tambien decir, el conjunto de los resultados es un intervalo en los números reales.

Ejemplos:
  • Suceso aleatorio: una persona adulta sera pesada (en kg). Ω = {x|30 ≤ x ≤ 200; x ∈ R}.
  • Suceso aleatorio: el cash-flow de una compañia (en €). Ω = R.
el Cash-flow se describe como la diferencia entre ingresos - egresos.
Aqui no se puede mas contar los resultados. Un pequeño intervalo cualquiera del conjunto solución contiene infinito número de elementos. Cual es el siguiente elemento de 50 kg: 51 kg, 50,01kg o 50,00000001 kg? En el intervalo [50, 51] exiten infinito número de elementos.
Se podría aqui objetar que aun en el ejemplo del Cash-flow un centavo sería la menor unidad, que es sencillamente contable. Por supuesto, pero cuando son muchos elementos cercanos reunidos se facilita el análisis se puede suponer el conjunto como continuo. Se hablaría aqui de una cuasicontinuidad.


Si un suceso aleatorio tiene un concreto resultado, se concreta un suceso. Hay sucesos simples, el único resultado que contiene es el llamado suceso elemental. Los sucesos complejos se componen de muchos resultados. Un suceso A es siempre un subconjunto del conjunto solución Ω.

Ya que el resultado es un conjunto, se pude utilizar todas las operaciones del Algebra de Conjuntos, que puede ser igual a la Algebra de Boole (también la álgebra de Schalt). Las operaciones fundamentales para conjuntos en el álgebra de Boole son - (no), ∩ y ∪. Todas las otras operaciones se pueden derivar de éllas.

Todas las soluciones de interes se reunen solo en un conjunto solución llamado E. Éste es tambien un conjunto de subconjuntos. Con esos conjuntos se puede trabajar con el álgebra de Boole pero se deben cumplir las siguientes exigencias:

  • Cuando un suceso A esta contenido en E, debe estar tambien contenido su complemento _{\bar A}
  • Cuando esta contenido A y B, debe también estar contenido A ∪ B (se puede calcular que también contiene A ∩ B).
  • Debe también contener el elemento "nulo" Ø (esto implica que también el "elemento 1" Ω esta contenido, que es el complemento de Ø).

El extenso conjunto solución es el conjunto potencia P, éste contiene todos los subconjuntos de Ω.

Ejemplo de un conjunto potencia: Suceso: En una urna, que contienen pelotas rojas(r), azules (b) y amarillas (a), se debe sacar una pelota de ahi. Lo que nos interesa es el color de las pelotitas.

Conjunto solución: Ω = {a, b, r}

Conjunto potencia: P = {Ø, {r}, {b}, {a}, {r, a}, {r, b}, {a, b}, {a, b, r}}


Kolmogorow construyó un axioma para la medida de probabilidad, es decir una proyección del conjunto solución Ω de el conjunto de los números reales en el intervalo [0,1]:


F: Ω → R; A → P(A)


Una función P, que cada suceso A de E ordena un número real se llama probabilidad cuando cumple el siguiente axioma:


Axioma de la Probabilidad:

Dados dos sucesos A,B que estan en Ω.

  1.  P(A) \ge 0 \; . No-negatividad
  2.  P(\Omega) = 1 \; . Nominalidad
  3.  P(A \cup B) = P(A) + P(B) \; , si A y B son disjuntas. Aditividad


Este sistema de axiomas se puede contar solo para muchos finitos sucesos. Para muchos infinitos sucesos Ai (i = 1, 2, ...) se obtiene, en vez del conjunto finito solución, una σ-Algebra. Se mantienen ampliado todos las propiedades de los conjuntos solución de muchos infinitos sucesos Ai. Aqui se detalla el tercer axioma respectivo:

3. Son los sucesos Ai completamente disjuntos en pares, es por su distribución
P(A_1 \cup A_2 \cup A_3...) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) + ..., en caso de que Ai sea disconjunto (σ-Aditividad).

Cálculo de la probabilidad de un acontecimiento[editar]

Se debe ahora estar provisto de un suceso con probabilidad. Bajo que juicio se debe eso realizar, no nos viene en un axioma. Hay aqui diferentes procesos. Se mantiene finalmente la distribución de probabilidad.


Como asignamos los sucesos con la mejor probabilidad?

Consideremos el ejemplo en el pedazo de Pizza, el suceso A: mínimo un pedazo de la mitad. Es A = {RM, MR, MM}. Se cubre en Ω tres de cuatro posibles resultados, así tenemos la probabilidad P(A) = 3/4. La estrategía corresponde al clásico concepto de probabilidad. Se lo designa como principio simétrico o el principio de Laplace:

Cada resultado es frecuentemente igual. |A| es el número de resultados que se cubren a través de A (número de resultados favorables), |Ω| es el número de todas las soluciones posibles. Asi

P(A) = \frac {|A|} {|\Omega|} = \frac {3} {4}\;.

El principio simétrico tiene sobre todo una desventaja que no se puede aplicar para todos los sucesos aleatorios, p. e.: para muchos eventos infinitos. Frecuentemente se asigna tambien a un resultado distintas probabilidades, p.e.:

Evento aleatorio: el clima de personas
Conjunto solución Ω = {bonito, desagradable}
P("bonito") = 0,6, p("desagradable") = 0,4.

Como se llego a esos valores de probabilidad 0,4 y 0,6? se evalúo en esos casos casi las señales del clima de los últimos 100 años y se averiguó que el porcentaje de los dias "bonitos" era el 60%. Aqui tenemos una aplicación del concepto estadístico de probabilidad: Se lleva a cabo un experimento aleatorio muy seguido. Con el número continuo de los intentos se aproxima el porcentaje de intentos que se han distribuido al suceso A, la probabilidad "real" P(A) de forma formal es

P(A) = \lim_{n \to \infty} \frac {n(A)}{n}\;,

con n(A) como número de intentos que se han surgido del evento A. Se designa ese conexion como Ley de grandes números. La ley proporciona el razonamiento que se puede evaluar desconocidas probabilidades con ayuda de una visión empírica, aqui eso nos sirve de mucha ayuda!.

Para muchas preguntas se rechazan ambos conceptos de probabilidad arriba mencionados. P.e. para sucesos, que se realizan raramente, no se tiene una una serie de intentos disponibles; como la probabilidad de exito de un nuevo producto ubicado en el mercado. Se quier llevar el ejemplo a una compañia de detergente. Se encuentra ante una alternativa, de hacer publicidad en la televisión o no. Se confronta con los eventos: Cuando pasa la propaganda televisiva es para la compañia un exito/un fracaso. Cuando no se pasa la propaganda es para la compañia tambien un exito/ un fracaso. Para estas cuatro alternativas se debe determinar probabilidad. No se tiene informacion confiable sobre el evento, no se puede tener datos previos, eventualmente bajo consideraciones de experiencias parecidas se asigna una probabilidad determinada. Esa forma de proceder se denomina el concepto subjetivo de probabilidad.

Hay sucesos que se definen como conjuntos, se puden ilustrar tambien en muchos eventos y en sus probabilidades en un diagrama de Venn. La probabilidad es la superficie del correspondiente conjunto.

El ejemplo de la pizzería para calcular la probabilidad[editar]

Archivo:Pommodore.png
Desglose de las ordenes de los clientes. Wein = Vino, Wasser = Agua

Ahora miremos alrededor de la pizzeria algo mas preciso: El dueño Carlo Pommodore es un hombre piadoso y acepta también a clientes sin mucho dinero que no ordenan nada. Por eso su local esta lleno con 50 clientes siempre. 20 personas ordenan Pizza y 10 lasagne. La comida llena tanto que nadie avanza a ordenar un segundo plato. 40 clientes beben vino y 20 beben agua mineral, pero 15 toman agua y vino.

Saquemos aleatoriamente a un cliente feliz del estrepitoso conjunto. Cuán grande es la probabilidad de conseguir a uno que comió pizza?

Tenemos |Ω| = 50 diferentes resultados. Se puede de ahi sacar que cada cliente tiene la misma probabilidad de ser escogido.

Definimos ahora los sucesos:

A: El cliente comió pizza; B: El cliente comió lasagne;
C: El cliente tomó vino; D: El cliente tomó agua.

Se tiene bajo el principio de simetría:

P(A) = \frac {|A|}{|\Omega|} =  \frac {20}{50}= \frac {2}{5}\;,
P(B) =  \frac {10}{50}=  \frac {1}{5}\;,
P(C) =   \frac {4}{5} y
P(D) =    \frac {2}{5}\;.

Podemos calcular:

  • La probabilidad que alguien tome agua y vino:
P(C \cap D) = \frac {|C \cap D|}{|\Omega|} = \frac {15}{50} = \frac {3}{10}\;.
  • La probabilidad que en un cliente escogido aleatoriamente no tome agua (\;_{\bar D}):
P( \bar D) = \frac {\vert \bar D \vert} {\vert \Omega \vert} =  \frac {50-20} {50}

= 1 - \frac {20} {50} = \frac {3} {5} = 1 - P(D)\;.
  • Cantidad de personas que bebieron agua o vino:
P(C \cup D) = P(C) + P(D) - P(C \cap D) = \frac {40}{50} + \frac {20}{50} - \frac {15}{50} = \frac {45}{50}=\frac {9}{10}\;.

Esta relación siempre vale para dos eventos!

  • La probabilidad que un cliente coma pizza o lasagne:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac {20}{50} + \frac {10}{50} - 0 = \frac {30}{50}\;.

Los conjuntos A y B son disyuntos.

  • La probabilidad que un cliente escogido aleatoriamente no beba ni vino ni agua:

P(\bar C \cup \bar D) = P(\bar C) + P(\bar D) - P(\bar C \cap \bar D).

Aqui el directo cálculo de la probabilidad es análogo al realizado anteriormente. Se usa mejor la regla de DE MORGAN:

P( \bar C \cup \bar D) = P( \overline {C \cap D}) = 1 - P(C \cap D) = 1 - \frac {15}{50} = \frac {35}{50} = 0,7.

Lo que se debe aprender[editar]

En un suceso A (A elemento de Ω) :

0 \le P(A) \le 1.
P(\bar A) = 1 - P(A).
P(\empty) = 0.

Dos sucesos A y B (A,B elementos de Ω) :

A y B no son en general disyuntos, también es la probabilidad que A o B ocurra por el teorema de adición para dos sucesos:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).

En el caso de que A y B sean disyuntos:

P(A \cup B) = P(A) + P(B).

La regla de Morgan:

P(\bar A \cup \bar B) = P(\overline {A \cap B})

y

P(\bar A \cap \bar B) = P(\overline {A \cup B})

Para tres eventos Ai (i = 1, 2, 3) de Ω vale analogamente a su arriba mencionada referencia:

P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) - P(A_1 \cap A_2) - P(A_1 \cap A_3) - P(A_2 \cap A_3) + P(A_1 \cap A_2 \cap A_3).


Mas sucesos Ai (i finito o infinito):

Si los eventos Ai generalmente en pares son disjuntos, se lo realiza por su distribución

P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 ...) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) + ...

Ejercicio[editar]

Muestrese un diagrama de Venn que sea favorable a una regla de De Morgan.



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