Ecuaciones diferenciales ordinarias/Ecuaciones diferenciales de primer orden/Ecuaciones diferenciales homogéneas

Ecuaciones diferenciales homogéneas

En la práctica, es muy difícil que nos encontremos con ecuaciones diferenciales separables. Sin embargo, hay ocasiones en las que algún tipo de sustitución transforma la ecuación diferencial no separable en una ecuación que sí es separable. Un ejemplo de este tipo de ecuaciones son las ecuaciones diferenciales homogéneas. Una ecuación diferencial se llama homogénea si puede escribirse de la forma

${dy \over dx}=f\left({y \over x}\right).$

(1.9)

Vemos entonces que en este tipo de ecuaciones, $\textstyle {dy \over dx}$ queda aislada en un lado de la ecuación, mientras que en el otro lado tenemos una expresión en la que $x$ e $y$ aparecen siempre en la forma $\textstyle {y \over x}$. Ejemplos de ecuaciones diferenciales homogéneas son

${dy \over dx}=\left({y \over x}\right)^{2}+1,\qquad {dy \over dx}=\cos \left({\frac {y}{x}}\right)+{\frac {y}{x}},\qquad {dy \over dx}=e^{y/x}+3.$

Veremos ahora que la sustitución $u=y/x\,$ transforma una ecuación diferencial homogénea en una ecuación diferencial separable. En efecto, pues si $u=y/x\,$, entonces

${dy \over dx}=u+x{\frac {du}{dx}},$

de modo que la ecuación (1.9)

se transforma en la ecuación 

$u+x{du \over dx}=f(u).$

Esta ecuación es claramente separable, y puede escribirse como

${1 \over f(u)-u}{du \over dx}={1 \over x},$

luego en forma diferencial tenemos

${1 \over f(u)-u}\,du={1 \over x}\,dx$

así que integrar ambos lados de la ecuación da lugar a una ecuación que definirá la solución general de la ecuación (1.9)

.

Ejemplo 1.4

Resolver la ecuación diferencial

${dy \over dx}={x \over y}+{y \over x}.$

Solución: Haciendo $\textstyle u={y \over x}$ tenemos que la ecuación diferencial anterior se convierte en

${\begin{matrix}&u+x{\displaystyle {du \over dx}}&=&u^{-1}+u\\[3mm]\Rightarrow \qquad &u\,du&=&{\displaystyle {1 \over x}}\,dx.\end{matrix}}$

Integrando ambos lados de la ecuación obtenemos

${u^{2} \over 2}=\ln |x|+C.\,$

Puesto que $\textstyle u={y \over x}$, tenemos que

$y=x{\sqrt {2\ln |x|+C}},\,$

que define de manera explícita la solución general de la ecuación diferencial.

Hay ocasiones en que una ecuación diferencial es lo suficientemente parecida a una ecuación diferencial homogénea que un sencillo cambio de variables la transforma en una ecuación diferencial homogénea. Consideremos, por ejemplo, ecuaciones diferenciales de la forma

${dy \over dx}=f\left({\frac {ax+by+c}{dx+ey+h}}\right),$

(1.10)

donde $a,b,c,d,e,h$ son constantes. Si $x\neq 0$, podemos escribir (1.10)

como

${dy \over dx}=f\left({\displaystyle a+b\left({\frac {y}{x}}\right)+{\frac {c}{x}} \over \displaystyle d+e\left({\frac {y}{x}}\right)+{\frac {h}{x}}}\right).$

(1.11)

La ecuación (1.11)

es homogénea si $c=h=0\,$. Si este no es el caso, entonces podemos intentar un cambio de variable del tipo

$X=x-\alpha \qquad {\mbox{y}}\qquad Y=y-\beta ,$

donde intentaremos escoger $\alpha$ y $\beta$ de manera que éstos anulen las constantes $c$ y $h$. Para esto, vemos que el tipo de sustitución indicado arriba nos deja con la ecuación diferencial de la forma

${\begin{matrix}{\displaystyle {dY \over dX}}&=&{\displaystyle f\left({\frac {a(X+\alpha )+b(Y+\beta )+c}{d(X+\alpha )+e(Y+\beta )+h}}\right)}\\[4mm]&=&{\displaystyle f\left({\frac {aX+bY+(a\alpha +b\beta +c)}{dX+eY+(d\alpha +e\beta +h)}}\right).}\end{matrix}}$

Por lo tanto, debemos escoger $\alpha$ y $\beta$ de manera que

$\left\{{\begin{matrix}a\alpha +b\beta +c=0\\[2mm]d\alpha +e\beta +h=0\end{matrix}}\right.$

(1.12)

El sistema de ecuaciones (1.12)

tendrá solución para $\alpha$ y $\beta$ si y sólo si 

$\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\neq 0.$

Siendo éste el caso, podemos elegir $\alpha$ y $\beta$ de manera que se satisfaga el sistema (1.12)

, y con ello haremos que la ecuación (1.11)

se transforme en una ecuación homogénea.