Cálculo en una variable/Sucesiones

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Definiciones[editar]

Definición Una sucesión es una función de F:\N\to \R

Puesto que podemos listar los enteros 1, 2, 3,... podemos de igual manera listar una sucesión f(1), f(2), f(3), f(4), … Denotaremos una sucesión por una letra mayúscula itálica, el conjunto de los valores reales que la función toma por la misma letra mayúscula no-itálica, y los elementos de ese conjunto con la correspondiente letra minúscula, y subíndices. Por ejemplo la sucesión S toma valores en el conjunto S con elementos s_1, s_2, s_3 ...\,.

S es un conjunto de reales, S es una función de los enteros en los reales, dos conceptos diferentes. Si somos rigurosos debemos ser cuidadosos de no confundir las dos, pero en el uso general ambos conceptos son intercambiables.

Podemos también denotar sucesiones por su función. Por ejemplo si decimos que la función S es 3k, entonces la sucesión consiste en 3, 6, 9,….

En particular estamos interesados en tipos especiales de sucesiones que convergen. Introducimos primero tres definiciones.

Definición 1: Una sucesión S es una sucesión de Cauchy si para todo \epsilon > 0, existe un entero n(\epsilon) tal que para todo k > n(\epsilon), |s_k - s_{n(\epsilon)}| < \epsilon.

Definición 2: Una sucesión, S, está acotada superiormente/inferiormente si el conjunto, S, de todos sus elementos está acotada superiormente/inferiormente

Definición 3: Una sucesión, S, converge si existe un número, s, tal que para todo \epsilon > 0, existe un entero n(\epsilon) tal que para todo k> n(\epsilon), |s_k - s| < \epsilon. Si la sucesión es convergente llamaremos al número s el límite de la sucesión S. Escribimos, s=\lim_{n \to \infty} s_n

Teorema 0: Si existe un número, s, tal que para todo \epsilon > 0, existe un entero n(\epsilon) tal que para todo k> n(\epsilon), |s-s_{n(\epsilon)}| < f(\epsilon) donde f es tal que δ es menor o igual que algún δ(ε) implica que f(δ)≤ε, f(x) es positiva para todo x positivo, y f(0)=0 entonces S converge.

Prueba Para cualquier ε consideremos n(δ(ε)).

Si n>n(δ(ε)) entonces

Por las condiciones dadas, |s-s_{n(\delta(\epsilon))}| < f(\delta(\epsilon)) \le \epsilon

Luego, S cumple las condiciones en la Definición 3.

Este teorema indica que es suficiente probar que la diferencia entre un término y el límite es menor que alguna función positiva continua de ε

Cauchy = convergente[editar]

Probaremos que una sucesión es convergente si y sólo si es de Cauchy. Para esto necesitamos algunos teoremas preliminares.

Teorema 1: Toda sucesión de Cauchy está acotada superiormente

Prueba:

  • Por la definición 1 con ε=1
\exists N \mbox{ tal que } \forall n>N \quad |s_n-s_N|<1
  • Definamos
r=2+\operatorname{sup}\{s_1,s_2, ... s_N\}
  • Entonces, por definición
s_k<r \quad \forall k \le N
  • Si n>N
s_n \le 1+s_N < r
  • Por lo tanto la sucesión satisface la definición 2 con s_{+}=r

La sucesión de Cauchy está acotada superiormente.

Teorema 2: Toda sucesión de Cauchy está acotada inferiormente

Prueba: Como en el Teorema 1, con los cambios obvios. Ejercicio: Probar esto

Definición 4

  • una sucesión es monótonamente creciente si para todo n,m n≥m implies an≥am
  • una sucesión es monótonamente decreciente si para todo n,m n≥m implies an≤am

Teorema 3 a/Si S es acotada superiormente y monótonamente creciente, S converge a sup S b/Si S es acotada inferiormente y monótonamente decreciente, S converge a inf S

Prueba: a)Para una sucesión monótonamente creciente y acotada superiormenteS, y para todo ε>0, debemos tener

sN>sup S -ε
para algún N, si no sup S -ε es una cota superior de S, contradiciendo la

definición de sup

para todo n>N, sN<sn, por definición
combinando con la primera desigualdad para obtener
sup S>sn>sup S -ε
reordenando
|sn-sup S|<ε para todo n mayor que algún N
Hence sup S es el límite de S

3b) se prueba similarmente


Teorema 4 (The sandwich teorema)

Dadas tres sucesiones, R, S , T,
Si R y T convergen ambas, lim R=lim T y
\exists N \, \forall n>N\quad r_n\le s_n \le t_n
la sucesión S converge al mismo límite.

Prueba

Sea s=lim R = lim T
Para cualquier ε>0, por definición de convergencia, existen M, N tal que
\forall n > M \quad |r_n-s|<\epsilon
\forall n > N \quad |t_n-s|<\epsilon
Combinando estas dos desigualdades con las condiciones para R y T da
s-\epsilon<r_n \le s_n \le t_n  < s+\epsilon
para todo n mayor que el máximo de M y N
Después de reordenar, S satisface la definición de convergencia, con límite s,

y n(ε)=max {M,N}

Teorema 5 Si R, y S son ambas sucesiones convergentes

\forall n r_n \le s_n \Rightarrow \lim r_n \le \lim s_n

Teorema: Una sucesión S es convergente si y sólo si es de Cauchy.

1/ Convergencia implica Cauchy

Supongamos S es convergente, con límite s
Para un ε>0, elijamos n tal que
\forall k > n \quad |s_k-s|<\epsilon/2
(siempre es posible por definición de convergencia)
Por la desigualdad triangular, |s_k-s_j| <|s_k-s|+|s-s_j|
|s_k-s_j| < \epsilon /2+\epsilon /2= \epsilon, for j,k>n
Esta es la definición de sucesión de Cauchy.

2/ Cauchy implica convergencia<

Sea S una sucesión de Cauchy
Definamos dos sucesiones R y T por
r_n=\inf \{s_m: m \ge n \} \quad
t_n=\sup \{s_m: m \ge n\}
r_n= \min(s_n , r_{n+1}) \le r_{n+1}
R es monótonamente creciente. Similarmente T es monótonamente decreciente.
\forall m>n \quad r_1 \le r_n \le s_m \le t_n \le t_1
de modo que R y T están acotadas superiormente y inferiormente respectivamente.
Siendo acotadas y monótonas, convergen a su supremo e ínfimo respectivamente.
 r=\lim_{n \to \infty} r_n = \sup \, \inf \{s_m\}
\quad t=\lim_{n \to \infty} t_n = \inf \, \sup \{s_m\}
Por el teorema 5 puesto que rn≤tn para todo n, r ≤ t
Si, para algún N, todo sn with n>N es mayor que r, r es una cota inferior de los sn
pero es también una cota superior.
Para r ser ambas cosas, los sn deben ser constantes, haciendo la serie trivialmente convergente.
Similarmente para t.
Entonces, para todo N, deben existir n, m mayores que N, con
s_n \le r \quad s_m \ge t
\forall N \,\exists n,m>N \quad |s_n - s_m| \ge |r-t|
Si r≠t esto contradice la definición of Cauchy, luego r=t
Pero S está acotada entre R y T, por lo tanto por el teorema del sandwhich, S es convergente

Podemos usar ahora Cauchy y convergente intercambiablemente, según convenga. A menudo probaremos que una sucesión es convergente probando que es de Cauchy.

Operaciones con sucesiones[editar]

Si podemos sumar, multiplicar, y dividir sucesiones en la manera obvia, entonces el límite de una suma/producto/cociente de sucesiones será la suma/producto/cociente de sus límites.

Definimos (S+T) por (s+t)n=sn+tn

La suma de sucesiones hereda las propiedades de grupo de los reales.

Si S y T convergen ambas, a s y t respectivamente, entonces para todo ε>0,

\exists N \forall n>N\ |s_n-s|<\epsilon/2\quad |t_n-t|<\epsilon/2

(definición de límite)

|s_n-s|+|t_n-t|>|s_n+t_n-s-t| hence
|s_n+t_n-(s+t)|<\epsilon

Luego, por definición de límite, S+T converge a s+t

Definimos (ST) por (st)n=sntn

El producto de sucesiones hereda conmutatividad y asociatividad de los reales.

Si S y T convergen ambas, a s y t respectivamente, entonces para todo ε>0,

\exists N \forall n>N\ |s_n-s|<\epsilon \quad |t_n-t|<\epsilon

(definición de límite)

|s_n t_n-st|=|(s_n-s)(t_n-t)+s(t_n-t)+t(s_n-s)|
|s_n t_n-st|<|s_n-s||t_n-t|+|s||t_n-t|+|t||s_n-s|
|(st)_n -st|<\epsilon^2+2\epsilon (|s|+|t|)

El lado derecho es una función monótona creciente de ε, por consiguiente puede ser reemplazado por ε, Luego, por definición de límite, S'T converge a s't


Rest, to be proved.