Álgebra universitaria/Fundamentos/Conjuntos de números

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Ahora estudiaremos un poco más a fondo los conjuntos de números que emplearemos en este libro. El primer conjunto que estudiaremos es el de los números naturales,


(1.2.1) \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}


que es ciertamente el más sencillo de todos los conjuntos de números. Nótese que hemos incluido el cero dentro de los números naturales. Aunque rara vez tiene importancia si los números naturales parten del cero o del uno, es conveniente hacer una aclaración a este respecto. Lo mejor que podemos decir es que nosotros, al haber incluido el cero entre los números naturales, nos hemos ajustado a la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que incluye el cero como número natural. No entraremos aquí en detalles, así es que a un lector más ambicioso lo remitimos a una sección incluida en el Apéndice A donde se profundiza más en este asunto.


Lo primero a notar es que, si bien, los números naturales tienen un primer elemento (el cero), no tienen un último, y esto es precisamente lo que se pretende indicar con los tres puntos en la expresión (1.2.1). Otra cosa es que los números naturales tienen, en el sentido técnico de la palabra, un buen ordenamiento, pues todo subconjunto de \mathbb{N} tiene un primer elemento. Por supuesto, para apreciar que el conjunto de los números naturales es bien ordenado, es necesario definir aquella relación que le da el orden. Estudiar esto nos llevaría de nuevo lejos de nuestro propósito, por lo que aquí también remitimos al lector a la segunda sección del Apéndice A.


Los números naturales son, valga la redundancia, muy "naturales", y es quizá por ello que raras veces se pregunta uno el por qué de sus características o propiedades. Sin entrar mucho en el trasfondo del asunto, mencionaremos aquellos principios básicos que dan su estructura a los números naturales. Estos principios son los llamados axiomas de Peano, en honor al lógico-matemático Giuseppe Peano, quien los expuso por primera vez en su obra Arithmetices principia (1889). Los axiomas de Peano, que en la obra original de este matemático eran nueve, hoy han podido ser reducidos a los cinco siguientes:


  1. 0\in\mathbb{N}
  2. para todo n\in\mathbb{N}, existe n^{+}\in\mathbb{N}, llamado sucesor de n
  3. 0\neq n^{+} para todo n\in\mathbb{N}
  4. si ~m^{+}=n^{+}, entonces ~m=n
  5. si S\subseteq\mathbb{N} con 0\in S, y si para todo n\in S se tiene que n^{+}\in S, entonces S=\mathbb{N}.


El primer axioma nos dice que el conjunto \mathbb{N} contiene, para empezar, un elemento (el cero). El segundo afirma que para todo número natural, existe un sucesor, el cual es también un número natural. El tercer axioma dice que el cero no es sucesor de ningún número natural, es decir, es el primer número natural. El cuarto axioma dice que dos números naturales distintos tienen sucesores distintos. Y finalmente, el quinto axioma dice que cualquier subconjunto de \mathbb{N} que contenga al cero y al sucesor de cualquiera de sus elementos habrá de ser forzosamente el mismo \mathbb{N}. En otras palabras, el quinto axioma dice que el conjunto de los números naturales es el menor conjunto que puede tener al cero y al sucesor de cada uno de sus elementos. De este quinto axioma surge lo que se conoce como principio de inducción matemática (véase la sección 2, Apéndice A).


El siguiente conjunto de números es, por su sencillez, el de los números enteros, que se representa por \mathbb{Z}. La diferencia es que este conjunto incluye también números negativos. Es decir,


\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}.


Puede decirse que el conjunto \mathbb{Z} incluye a los números naturales así como a una replica de ellos, cuya diferencia es un signo de menos. Estos enteros negativos nos dan solución para la ecuación


x+b=c\


aún cuando b sea mayor que c. Por ejemplo, para


x+5=4\


se tiene x=-1\ , un número no natural pero si entero.


Es posible dar una definición más rigurosa de \mathbb{Z} a partir de los números naturales, y así se ha hecho en el Apéndice A. Lo que ya observamos aquí es que, siendo b y c números naturales, la ecuación


x+b=c\


puede no tener solución dentro del mismo \mathbb{N} (esto sucede cuando b es mayor que c). Sin embargo, esta ecuación encuentra siempre solución, siendo b y c enteros cualesquiera, dentro de \mathbb{Z}. Vemos pues que \mathbb{Z} presenta una ventaja sobre \mathbb{N} ¿Pero qué sucede con la ecuación


a\cdot b=c,


donde a, b y c son números enteros? Ciertamente, para que esta ecuación tenga siempre solución, hemos de buscarlas en el conjunto de los números racionales, \mathbb{Q}. Este conjunto es descrito frecuentemente como el que incluye a todos los números que pueden expresarse de la forma \frac{a}{b}, con a y b\neq 0 enteros (es decir, \mathbb{Q} incluye también fracciones). Puesto que todo entero a puede expresarse como un cociente de enteros (por ejemplo \frac{a}{1}), resulta que \mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}.


Notemos que existen expresiones decimales de números racionales donde aparecen infinitas cifras, aunque siempre repetidas. Por ejemplo, la representación decimal de la fracción


\frac{1}{3}


es 0.3333\ldots, una repetición de puros 3, mientras que la expresión decimal de


\frac{47}{11}


es 4.272727\ldots, una repetición de 2 y 7 siempre en el mismo orden. Este tipo de expresiones se dicen decimales periódicas infinitas, y es fácil demostrar que toda expresión decimal periódica infinita representa un número racional, y recíprocamente.


A pesar de ser el conjunto \mathbb{Q} mas grande en apariencia que el conjunto \mathbb{Z}, aquél no es suficiente para resolver todas las ecuaciones. Por ejemplo, ningún x\in\mathbb{Q} cumple con


x^2=2\ .


Nos encontramos pues ante la necesidad de un conjunto más amplio, que nos de soluciones para la ecuación anterior, y muchas otras. Éste conjunto puede ser el de los números reales, \mathbb{R}. El conjunto de los números reales incluye números que son soluciones para ecuaciones como la anterior y que, por no ser números racionales, son llamados números irracionales. Como es de esperarse, la representación decimal de estos números es infinita y no periódica. Por ejemplo, \sqrt{2} es un número irracional, y la siguiente es su representación decimal aproximada con cien cifras:


1.414213562373095048801688724209

69807856967187537694807317667973

79907324784621070388503875343276

41573...


La constante \pi, que equivale a la razón entre el diámetro de una circunferencia y su perímetro, es otro ejemplo de número irracional. Su representación decimal aproximada con cien cifras es


3.141592653589793238462643383279

50288419716939937510582097494459

23078164062862089986280348253421

17068...


Veamos ahora lo que sucede con ecuaciones del tipo


x^2=c\ .


Si c es un número real positivo, o cero, la ecuación encuentra solución en \mathbb{R}. No obstante, al ser c un número real negativo la ecuación queda sin solución en \mathbb{R}, como sucede, por ejemplo, en la ecuación


x^2=-1\ .


Lo que sucede es que, como se demostrará más adelante en este libro, el cuadrado de todo número real es siempre positivo. Para remediar esto, se crean los número imaginarios, que, unidos con los reales, forman el conjunto de los números complejos, \mathbb{C}. Pero para poder entender mejor las características de estos números, son necesarios conocimientos que se presentan en capítulos posteriores de este libro, de modo que pospondremos el estudio de los números complejos hasta que sea el momento apropiado.