Álgebra universitaria/Fundamentos/Conjuntos

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El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales de las matemáticas, y por tanto, como sucede con otros conceptos matemáticos —como el de punto o recta—, no es posible dar una definición eficaz a la vez que simple e intuitiva. Así, en estudios intuitivos de la teoría de conjuntos, se opta por entender el concepto de conjunto más que por definirlo, y de ello resulta que un conjunto es un concepto intuitivo. Este método es útil y funcional hasta ciertos límites, más allá de los cuales se presentan claras dificultades y contradicciones. Sin embargo, nuestra necesidad no nos llevará siquiera cerca de esos límites, y, por tanto, podemos conformarnos con el método intuitivo.

Entenderemos pues por conjunto, cualquier reunión de objetos en una sola colección. Resulta entonces que podemos pensar en conjuntos como: los puntos de una recta, los jugadores de un equipo de fútbol, los números naturales menores que seis, etc. Por supuesto, no todos los conjuntos serán útiles, de manera que nuestros conjuntos serán exclusivamente de números, excepto en un capítulo en donde usaremos también conjuntos de ecuaciones lineales.

Los miembros de un conjunto dado, es decir, los objetos que pertenecen a ese conjunto, los llamaremos elementos de dicho conjunto.

Procuraremos reservar las letras mayúsculas para representar a los objetos que trabajan como conjuntos y las letras minúsculas para representar a otros objetos, como, por ejemplo, los elementos de un conjunto. Otros símbolos, como \mathbb{N}, que se usa para representar al conjunto de los números naturales, los reservaremos para conjuntos de especial interés, que serán introducidos más adelante.

Para representar que x es uno de los elementos del conjunto, digamos, A, escribiremos


x\in A.


(Léase "x pertenece al conjunto A").


La negación de x\in A se escribe x\notin A y se lee "x no pertenece al conjunto A".


Dos conjuntos A y B son iguales, lo que se representa por A=B, si y solo si todos los elementos del conjunto A son elementos del conjunto B y todos los elementos del conjunto B son elementos del conjunto A. Si todos los elementos de un conjunto A pertenecen a otro conjunto B se dice que A es un subconjunto de B, lo cual se representa por A\subseteq B, y puede interpretarse diciendo que el conjunto A esta incluido dentro del conjunto B.


Si A es un conjunto cuyos elementos son a, b, c y d, y solo ellos, usaremos una notación según la cual este conjunto puede representarse por


\{a,b,c,d\}.


En general, representaremos cualquier conjunto escribiendo todos sus elementos separados por comas y encerrados entre llaves. Tal notación se conoce como notación por extensión o notación por enumeración. Por ejemplo, el conjunto de números naturales menores que seis, se escribe


\{0,1,2,3,4,5\}.


Este conjunto puede representarse de otra manera, mediante el empleo de otra notación, llamada comúnmente notación por comprensión o notación por descripción, y que en general resulta muy útil. En esta notación, el conjunto \{0,1,2,3,4,5\} se representa así:


\{x\in\mathbb{N}\mid x<6\}.


(Léase "el conjunto de todos las x en \mathbb{N} tales que x<6). Existe un conjunto sin elementos, llamado conjunto vacío y representado por \varnothing, que no contiene elementos, es decir, que se caracteriza por hacer siempre falsa la proposición


x\in\varnothing,


sea cual sea el elemento x.

Dados dos conjuntos A y B, se llama unión de A y B al conjunto, representado por A\cup B que contiene todos los elementos que están en A, todos los que está en B y todos los que están tanto en A como en B.


Ejemplo 1:

Sean A=\{1,2,3,4,5\} y B=\{4,5,6,7,8\}. Entonces


A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}.


Dados dos conjuntos A y B, se llama intersección de A y B al conjunto, representado por A\cap B, que contiene los elementos que están tanto en A como en B.


Ejemplo 2:

Sean A=\{1,2,3,4,5\} y B=\{4,5,6,7,8\}. Entonces


A\cap B=\{4,5\}.


Dos conjuntos A y B tales que A\cap B=\varnothing se dicen conjuntos disjuntos o mutuamente excluyentes.

Llamamos cardinal de un conjunto A al número de elementos que contiene A.