Álgebra Lineal/Suma y resta de vectores

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Suma de Vectores[editar]

Sean los vectores:


 U = \begin{bmatrix} U_1  \\ U_2 \\ \vdots \\U_n\end{bmatrix}\quad V = \begin{bmatrix} V_1  \\ V_2 \\ \vdots \\V_n\end{bmatrix} \in\mathbb{R}^n


Su suma vectorial será:


 U+V  = \begin{bmatrix} U_1  \\ U_2 \\ \vdots \\U_n\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} V_1  \\ V_2 \\ \vdots \\V_n\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} U_1+V_1  \\ U_2+V_2 \\ \vdots \\U_n+V_n\end{bmatrix}

Para que la suma entre dos o más vectores sea posible, los vectores deben tener el mismo tamaño, y el vector resultante será la suma de componente a componente de cada vector.


  • Ejemplo en \mathbb{R}^2:



 U = \begin{bmatrix} 1  \\ 3 \end{bmatrix}\quad V = \begin{bmatrix} -8  \\ 2 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^2


 U+V = \begin{bmatrix} 1+(-8)  \\ 3+2 \end{bmatrix}\quad = \begin{bmatrix} -7  \\ 5 \end{bmatrix}


  • Ejemplo en \mathbb{R}^3:


 A = \begin{bmatrix} 5  \\ 4\\3 \end{bmatrix}\quad B = \begin{bmatrix} 1  \\ 2\\ 5 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^3
A+B = \begin{bmatrix} 5+1  \\ 4+2\\3+5 \end{bmatrix}\quad = \begin{bmatrix} 6  \\ 6\\8 \end{bmatrix}


Propiedades de la Suma entre Vectores[editar]

Para la suma entre vectores se utilizan varias propiedades algebraicas provenientes de la suma entre reales.

Sean U, V,W vectores en \mathbb{R}^n:


 1) \  U+V = V + U. Propiedad Conmutativa.


 2) \ (U+V)+W=U+(V+W). Propiedad Asociativa.


 3) \  U+0=0+U= U. Todo vector sumado con cero no se verá afectado y el resultado será el mismo vector.


 4)  \  U+(-U)=-U+U=0. Todo vector sumado con su opuesto da como resultado 0

Suma Grafica de Vectores[editar]

Para sumar gráficamente dos vectores o mas vectores existen dos métodos, el método del paralelogramo y el método del triangulo:

Método del Paralelogramo[editar]

Se representa los vectores(U,V) como puntos en el plano y en los cuales sus orígenes generalmente coincidan en el punto(0,0) del plano cartesiano; luego en el extremo o cabeza del vector U, se grafica una paralela al vector V y en el extremo del vector V se grafica una paralela del vector U. La diagonal del paralelogramo que se forma es el vector suma o la respuesta.

Suma de vectores.svg

Método Poligonal[editar]

Se pone gráficamente el vector A como continuación del vector B, es decir, el origen del vector B coincide con la cabeza o extremo final del vector A. Luego se traza una diagonal que une el inicio del vector "a" con el resto de los extremos.

Vector addition2.svg


Para sumar más de dos vectores gráficamente con cualquiera de los dos métodos, se realiza primero la suma de dos en dos de los vectores, el vector resultante se suma a un tercero o n vectores aplicando la ley conmutativa de la suma de vectores.

Resta de Vectores[editar]

Restar dos vectores es sumar al primero ,el resultado de la multiplicación por el escalar (-1) del segundo vector o más claramente su opuesto porque :


 \ U(-1)=-U


 \ U-V=U+(-1)V=U+ (-V)

  • Ejemplo:
 U = \begin{bmatrix} 5  \\ 10 \end{bmatrix}\quad V = \begin{bmatrix} -8  \\ 1 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^2


 U-V = \begin{bmatrix} 5 + 8  \\ 10+(-1) \end{bmatrix}\quad = \begin{bmatrix} 13  \\ 9 \end{bmatrix}

Resta Grafica de Vectores[editar]

Gráficamente, U - V es el vector que se forma donde su origen es el extremo de V y su extremo es el extremo de U Resta de vectores.JPG En la imagen se puede ver V + (U-V)= U

Bibliografía[editar]

1.LAY, David C. ÁLGEBRA LINEAL Y SUS APLICACIONES (Tercera Edición). Pearson Educación, México, 2007. ISBN 978-970-26-0906-3 2.George Nakos / David Joyner. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Thomson Editores,Buenos Aires,1999