Álgebra Lineal/Operaciones entre matrices

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Introducción[editar]

Para estudiar las operaciones entre matrices es necesario primero conocer tipos de Matrices, ejemplo:

Tipos de matrices[editar]

Matriz fila[editar]

Una matriz fila está constituida por una sola fila pero varias columnas.

\begin{bmatrix} 1  & 2  & 1 \end{bmatrix}

Matriz columna[editar]

La matriz columna tiene una sola columna pero varias filas.


 
\begin{bmatrix} 1  \\ 2  \\ 1 \end{bmatrix}

Matriz rectangular[editar]

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.



\begin{bmatrix} 1&2& 25\\ 9&1&3 \end{bmatrix}

Matriz cuadrada[editar]

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1. 
 
\begin{bmatrix} 1&2&-5 \\ 3&6&5  \\ 0&-1&4 \end{bmatrix}



Matriz nula[editar]

En una matriz nula todos los elementos son ceros.



\begin{bmatrix} 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{bmatrix}


Matriz triangular superior[editar]

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.



 
\begin{bmatrix} 1&7&-2 \\ 0&8&5  \\ 0&0&4 \end{bmatrix}

Matriz triangular inferior[editar]

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. 


  
\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 3&6&0  \\ 7&-1&4 \end{bmatrix}

Matriz diagonal[editar]

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son ceros.


 

\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&6&0  \\ 0&0&2 \end{bmatrix}



Matriz escalar[editar]

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.


 

\begin{bmatrix} 3&0&0 \\ 0&3&0  \\ 0&0&3 \end{bmatrix}



Matriz identidad o unidad[editar]

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. 

 
 
\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0  \\ 0&0&1 \end{bmatrix}

Matriz regular[editar]

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular[editar]

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz simétrica[editar]

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica[editar]

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At.

Matriz ortogonal[editar]

Una matriz es ortogonal si verifica que: A•At = I.

Matriz traspuesta[editar]

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A (y notamos AT) a la matriz que se obtiene intercambiando ordenadamente las filas por las columnas de A. Es decir,  a_{ij} = a_{ji} \ \forall \ i,j.


Ejemplo:

Si 
A =
\begin{bmatrix} 2&3&0 \\ 1&2&0  \\ 3&5&6 \end{bmatrix} ,
entonces:


 
A^T =
 \begin{bmatrix} 2&1&3 \\ 3&2&5  \\ 0&0&6 \end{bmatrix}


Propiedades:

  1. (AT)T = A
  2. (A + B)T = AT + BT
  3. (α •A)T = α• AT
  4. (A • B)T = BT • AT

Suma y Resta de matrices[editar]

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

  Sea A =  \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3 & 0 & 0 \\5 &1& 1 \end{bmatrix} 
 y B = 

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} 


 La suma A + B


\begin{bmatrix} 2+1 & 0+0 & 1+1  \\ 3+1 &0 +2 & 0+1\\5+1&1+1 &1+0  \end{bmatrix} 
es igual  a 



\begin{bmatrix} 3 & 0& 2 \\ 4& 2 &1 \\ 6 & 2& 1 \end{bmatrix}

Del mismo modo la resta se hace componente a componente A - B





\begin{bmatrix} 2-1 & 0-0 & 1-1  \\ 3-1 &0 -2 & 0-1\\5-1&1-1 &1-0  \end{bmatrix}

 

es igual a 
\begin{bmatrix}  1&0&0\\2&-2&-1\\4&0&1 \end{bmatrix}


Propiedades de la suma de matrices[editar]

De la dimension[editar]

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

Asociativa[editar]

A + (B + D) = (A + B) + D

Elemento neutro[editar]

A + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto[editar]

A + (-A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

Conmutativa[editar]

A + B = B + A

Producto de matrices[editar]

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. M(m*n) * M(n*p) = M(m*p); Y ademas m*p nos dirá el tamaño de la matriz resultante. El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Ejemplo: A•B = 
 \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3 & 0 & 0 \\5 &1& 1 \end{bmatrix} 

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}



 \begin{bmatrix} 2*1+0*1+1*1 & 2*0+0*2+1*1 & 2*1+0*1+1*0 \\3*1+0*1+0*1& 3*0+0*2+0*1 & 3*1+0*1+0*0\\5*1+1*1+1*1 & 5*0+1*2+1*1  & 5*1+1*1+1*0\end{bmatrix} 

es igual a



 C:\begin{bmatrix} 3 & 1 & 2\\ 3 & 0 & 3 \\7 &3& 6 \end{bmatrix} [C(3*3)]; matriz resultante de 3*3



Propiedades del producto de matrices[editar]

Asociativa[editar]

A • (B • C) = (A • B) • C

Elemento neutro[editar]

A • I = A Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. Anticonmutativa A • B ≠ B • A

Distributiva del producto respecto de la suma[editar]

A · (B + C) = A · B + A · C

Matriz inversa[editar]

A·A-1 = A-1 · A = I


Propiedades[editar]

(A · B) ^ (-1) = B ^ (-1) · A ^ (-1)

[ A^ (-1) ] ^ (-1) = A

(k · A) ^ (-1) = k ^ (-1) · A ^ (-1)

(A ^ t) ^ (-1) = [ A ^ (-1) ] ^ t

Cálculo de la inversa por el método de Gauss[editar]

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos: 1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha. Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1. F2 - F1


F3 + F2


F2 - F3


F1 + F2


(-1) F2


La matriz inversa es: F1


Puedes consultar este otro método para calcular la matriz inversa.

A • (B + C) = A • B + A • C

Bibliografia[editar]

1. LAY, David C. ÁLGEBRA LINEAL 2. George Nakos / David Joyner. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Thomson Editores,Buenos Aires,1999

3. ANTON, Howard. Introducción al álgebra lineal. Editorial Limusa, México, 1985. ISBN 968-18-0631-X