Álgebra Lineal/Operaciones entre matrices
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[editar] Introducción
Para estudiar las operaciones entre matrices es necesario primero conocer tipos de Matrices
[editar] tipos de Matrices
[editar] Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila pero varias columnas.
[editar] Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna pero varias filas.
[editar] Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
[editar] Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1. 
[editar] Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
[editar] Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
[editar] Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. 
[editar] Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son ceros.
[editar] Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
[editar] Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. 
[editar] Matriz regular
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
[editar] Matriz singular
Una matriz singular no tiene matriz inversa.
[editar] Matriz simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At.
[editar] Matriz antisimétrica o hemisimétrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At.
[editar] Matriz ortogonal
Una matriz es ortogonal si verifica que: A•At = I.
[editar] Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas A = 
At=
(At)t = A (A + B)t = At + Bt (α •A)t = α• At (A • B)t = Bt • At
[editar] Suma y Resta de matrices
Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.
Sea A =
y B =
La suma A + B
es igual a
Del mismo modo la resta se hace componente a componente A - B
es igual a 
[editar] Propiedades de la suma de matrices
[editar] De la dimension
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
[editar] Asociativa
A + (B + C) = (A + B) + C
[editar] Elemento neutro
A + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
[editar] Elemento opuesto
A + (-A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.
[editar] Conmutativa
A + B = B + A
[editar] Producto de matrices
Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. Mm x n x Mn x p = M m x p El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos. A•B = •
es igual a
[editar] Propiedades del producto de matrices
[editar] Asociativa
A • (B • C) = (A • B) • C
[editar] Elemento neutro
A • I = A Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. Anticonmutativa A • B ≠ B • A
[editar] Distributiva del producto respecto de la suma
[editar] Matriz inversa
A · A-1 = A-1 · A = I
[editar] Propiedades
(A · B)-1 = B-1 · A-1 (A-1)-1 = A (k · A)-1 = k-1 · A-1 (A t)-1 = (A -1)t
[editar] Cálculo de la inversa por el método de Gauss
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos: 1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha. Consideremos una matriz 3x3 arbitraria
La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.
2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1. F2 - F1
F3 + F2
F2 - F3
F1 + F2
(-1) F2
La matriz inversa es:
Puedes consultar este otro método para calcular la matriz inversa.
A • (B + C) = A • B + A • C
[editar] Bibliografia
1. LAY, David C. ÁLGEBRA LINEAL Y SUS APLICACIONES (Tercera Edición). Pearson Educación, México, 2007. ISBN 978-970-26-0906-3
2. George Nakos / David Joyner. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Thomson Editores,Buenos Aires,1999
3. ANTON, Howard. Introducción al álgebra lineal. Editorial Limusa, México, 1985. ISBN 968-18-0631-X
