Álgebra Lineal/Espacios Vectoriales

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[editar] Definicion

Un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$ , es un conjunto donde se cumplen 2 operaciones $\bar+$ y $\circ$

Donde:

${\bar+:{V}\times{V}}\rightarrow {V}$

Es una operacion binaria en el conjunto V conocida como suma de vectores

${\circ:{F}\times{V}}\rightarrow {V}$

Es una operacion binaria del campo F y el conjunto V, al conjunto V conocida como multiplicacion por escalares

Y se cumplen las siguientes propiedades:

Propiedad 1.

$\forall x, y, z \in V: \quad x \bar+ (y \bar+ z) = (x \bar+ y) \bar+ z$

Propiedad 2.

$\exists ! e \in V, \quad \forall x \in V: \quad x \bar+ e = e \bar+ x = x$

Propiedad 3.

$\forall x \in V , \quad \exists -x \in V : \quad (-x) \bar+ x = x \bar+ (-x) = e$

Propiedad 4.

$\forall x,y \in V:\quad x \bar+ y = y \bar+ x$ .

Propiedad 5.

$\exist ! 1 \in F, \quad \forall x \in V:\quad {1}\circ{x}=x$

Propiedad 6.

$\forall a \in F, \quad \forall x, y \in V:\quad {a}\circ{(x\bar+y)}= ({a}\circ{x})\bar+({a}\circ{y})$

Propiedad 7.

$\forall a,b \in F, \quad \forall x \in V:\quad {({a}\times{b})}\circ{x} = {a}\circ{({b}\circ{x})}$

Propiedad 8.

$\forall a,b \in F, \quad \forall x \in V:\quad {(a+b)}\circ{x}=({a}\circ{x})\bar+({b}\circ{x})$

Donde $+$ y $\times$ son las dos operaciones del campo F

A los elementos de V se les llama Vectores y a los elementos de F se les llama escalares.

No confundir $\bar+$ con +, el primero es suma de vectores y el segundo es suma de escalares; y recordadr que $\circ$ es producto de escalares por vectores y $\times$ es multiplicacion de escalares

[editar] Ejemplos

1. $V = \mathbb{R}^2$ es un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{R}$

2. $V = M_{{n}\times{m}}(\mathbb{R})$ (el conjunto de matrices de ${n} \times {m}$ con entradas en $\mathbb{R}$ ) es un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{R}$

3. $\mathbb{P}_n(\mathbb{R})$ (los polinomios de grado n con coeficientes en $\mathbb{R}$ ) son un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{R}$

Teorema: En un espacio vectorial simpre se cumplen las siguientes propiedades:

1. $0\circ{x}= e$

donde $0 \in F$ es el neutro de la operacion suma en F

2. $-1\circ {x}=-x$

3. $\forall a \in F a\circ{e}= e$

Demostración

1. $\quad(0\circ{x})+e\quad=\quad0\circ{x}\quad=\quad (0+0)\circ{x}\quad=\quad (0\circ{x})+(0\circ{x})$

y por cancelacion $e=0\circ{x}$

[editar] Subespacios vectoriales

Sea $V F$ un espacio vectorial sobre el campo F, un subespacio vectorial W de V es un subconjunto de V que tal que es espacio vectorial sobre F con las mismas operaciones definidas en V, es decir que cumple las 8 propiedades de espacio vectorial.

Teorema: Sea $V F$ un espacio vectorial, W es subespacio vectorial de si y solo si se cumplen las siguientes propiedades:

1. $e \in W$