Álgebra Lineal/Espacios Vectoriales

De Wikilibros, la colección de libros de texto de contenido libre.
Saltar a: navegación, buscar

Definicion[editar]

Un espacio vectorial V sobre un campo F, es un conjunto donde se cumplen 2 operaciones \bar+ y \circ

Donde:


{\bar+:{V}\times{V}}\rightarrow {V}

Es una operacion binaria en el conjunto V conocida como suma de vectores


{\circ:{F}\times{V}}\rightarrow {V}

Es una operacion binaria del campo F y el conjunto V, al conjunto V conocida como multiplicacion por escalares


Y se cumplen las siguientes propiedades:

Propiedad 1.


   \forall x, y, z \in V: \quad
   x \bar+ (y \bar+ z) =
   (x \bar+ y) \bar+ z

Propiedad 2.


   \exists ! e \in V, \quad  \forall x \in V: \quad
   x \bar+ e =
   e \bar+ x = x

Propiedad 3.


  \forall x \in V , \quad
   \exists -x \in V : \quad
   (-x) \bar+ x =
   x \bar+ (-x) = e

Propiedad 4.


   \forall x,y \in V:\quad
 x \bar+ y = y \bar+ x 
.

Propiedad 5.


   \exist ! 1 \in F, \quad
    \forall x \in V:\quad 
     {1}\circ{x}=x

Propiedad 6.


   \forall a \in F, \quad
    \forall x, y \in V:\quad 
     {a}\circ{(x\bar+y)}= ({a}\circ{x})\bar+({a}\circ{y})

Propiedad 7.


   \forall a,b \in F, \quad
    \forall x \in V:\quad 
     {({a}\times{b})}\circ{x} = {a}\circ{({b}\circ{x})}

Propiedad 8.


   \forall a,b \in F, \quad
    \forall x \in V:\quad 
     {(a+b)}\circ{x}=({a}\circ{x})\bar+({b}\circ{x})


Donde + y  \times son las dos operaciones del campo F


A los elementos de V se les llama Vectores y a los elementos de F se les llama escalares.


No confundir \bar+ con +, el primero es suma de vectores y el segundo es suma de escalares; y recordadr que \circ es producto de escalares por vectores y \times es multiplicacion de escalares


Ejemplos[editar]

1. V = \mathbb{R}^2 es un espacio vectorial sobre el campo \mathbb{R}


2. V = M_{{n}\times{m}}(\mathbb{R}) (el conjunto de matrices de {n} \times {m} con entradas en \mathbb{R}) es un espacio vectorial sobre el campo \mathbb{R}


3. \mathbb{P}_n(\mathbb{R}) (los polinomios de grado menor o igual que n con coeficientes en \mathbb{R}) son un espacio vectorial sobre el campo \mathbb{R}


Teorema En un espacio vectorial simpre se cumplen las siguientes propiedades:

  1. 0\circ{x}= e, \forall x\in V

donde 0 \in F es el neutro de la operacion suma en F

  1. (-1)\circ {x}=-x, \forall x\in V
  2. a\circ{e}= e, \forall a \in F


Demostración

  1. (0\circ{x})\bar+e = 0\circ{x} = (0+0)\circ{x}\ =\ (0\circ{x})\bar+(0\circ{x}) y por cancelacion e=0\circ{x}.
  2. x\bar +((-1)\circ x)=(1\circ x) \bar + ((-1)\circ x)=(1+(-1))\circ x=0\circ x=e. Como el simétrico (para la suma) de x es único, tenemos (-1)\circ x=-x.
  3. (a\circ e)\bar +e=a\circ e=a\circ (e\bar+e)=(a\circ e)\bar+(a\circ e) y por cancelación e=a\circ e.