Álgebra Lineal/Espacios Vectoriales

Definicion

Un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$, es un conjunto donde se cumplen 2 operaciones $\bar+$ y $\circ$

Donde:

${\bar+:{V}\times{V}}\rightarrow {V}$

Es una operacion binaria en el conjunto V conocida como suma de vectores

${\circ:{F}\times{V}}\rightarrow {V}$

Es una operacion binaria del campo F y el conjunto V, al conjunto V conocida como multiplicacion por escalares

Y se cumplen las siguientes propiedades:

Propiedad 1.

$\forall x, y, z \in V: \quad x \bar+ (y \bar+ z) = (x \bar+ y) \bar+ z$

Propiedad 2.

$\exists ! e \in V, \quad \forall x \in V: \quad x \bar+ e = e \bar+ x = x$

Propiedad 3.

$\forall x \in V , \quad \exists -x \in V : \quad (-x) \bar+ x = x \bar+ (-x) = e$

Propiedad 4.

$\forall x,y \in V:\quad x \bar+ y = y \bar+ x$.

Propiedad 5.

$\exist ! 1 \in F, \quad \forall x \in V:\quad {1}\circ{x}=x$

Propiedad 6.

$\forall a \in F, \quad \forall x, y \in V:\quad {a}\circ{(x\bar+y)}= ({a}\circ{x})\bar+({a}\circ{y})$

Propiedad 7.

$\forall a,b \in F, \quad \forall x \in V:\quad {({a}\times{b})}\circ{x} = {a}\circ{({b}\circ{x})}$

Propiedad 8.

$\forall a,b \in F, \quad \forall x \in V:\quad {(a+b)}\circ{x}=({a}\circ{x})\bar+({b}\circ{x})$

Donde$+$ y $\times$ son las dos operaciones del campo F

A los elementos de V se les llama Vectores y a los elementos de F se les llama escalares.

No confundir $\bar+$ con $+$, el primero es suma de vectores y el segundo es suma de escalares; y recordadr que $\circ$ es producto de escalares por vectores y $\times$ es multiplicacion de escalares

Ejemplos

1. $V = \mathbb{R}^2$ es un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{R}$

2. $V = M_{{n}\times{m}}(\mathbb{R})$ (el conjunto de matrices de ${n} \times {m}$ con entradas en $\mathbb{R}$) es un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{R}$

3. $\mathbb{P}_n(\mathbb{R})$ (los polinomios de grado menor o igual que $n$ con coeficientes en $\mathbb{R}$) son un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{R}$

Teorema En un espacio vectorial simpre se cumplen las siguientes propiedades:

1. $0\circ{x}= e$, $\forall x\in V$

donde $0 \in F$ es el neutro de la operacion suma en F

1. $(-1)\circ {x}=-x$, $\forall x\in V$
2. $a\circ{e}= e$, $\forall a \in F$

Demostración

1. $(0\circ{x})\bar+e = 0\circ{x} = (0+0)\circ{x}\ =\ (0\circ{x})\bar+(0\circ{x})$ y por cancelacion $e=0\circ{x}$.
2. $x\bar +((-1)\circ x)=(1\circ x) \bar + ((-1)\circ x)=(1+(-1))\circ x=0\circ x=e$. Como el simétrico (para la suma) de $x$ es único, tenemos $(-1)\circ x=-x$.
3. $(a\circ e)\bar +e=a\circ e=a\circ (e\bar+e)=(a\circ e)\bar+(a\circ e)$ y por cancelación $e=a\circ e$.