Álgebra Lineal/Espacios Vectoriales
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[editar] Definicion
Un espacio vectorial V sobre un campo F, es un conjunto donde se cumplen 2 operaciones
y 
Donde:
Es una operacion binaria en el conjunto V conocida como suma de vectores
Es una operacion binaria del campo F y el conjunto V, al conjunto V conocida como multiplicacion por escalares
Y se cumplen las siguientes propiedades:
Propiedad 1.
Propiedad 2.
Propiedad 3.
Propiedad 4.
.
Propiedad 5.
Propiedad 6.
Propiedad 7.
Propiedad 8.
Donde + y
son las dos operaciones del campo F
A los elementos de V se les llama Vectores y a los elementos de F se les llama escalares.
No confundir
con +, el primero es suma de vectores y el segundo es suma de escalares; y recordadr que
es producto de escalares por vectores y
es multiplicacion de escalares
[editar] Ejemplos
1.
es un espacio vectorial sobre el campo 
2.
(el conjunto de matrices de
con entradas en
) es un espacio vectorial sobre el campo 
3.
(los polinomios de grado n con coeficientes en
) son un espacio vectorial sobre el campo 
Teorema: En un espacio vectorial simpre se cumplen las siguientes propiedades:
1. 
donde
es el neutro de la operacion suma en F
2.
3. 
Demostración
1. 
y por cancelacion 
[editar] Subespacios vectoriales
Sea VF un espacio vectorial sobre el campo F, un subespacio vectorial W de V es un subconjunto de V que tal que es espacio vectorial sobre F con las mismas operaciones definidas en V, es decir que cumple las 8 propiedades de espacio vectorial.
Teorema: Sea VF un espacio vectorial, W es subespacio vectorial de si y solo si se cumplen las siguientes propiedades:
1. 
2. 
3. 
Demostración
Es facil ver que con las 8 propiedades de espacio vectorial, las 3 anteriores se cumplen









