Álgebra Lineal/Escalar por matriz

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Definición[editar]

Sea A una matriz cualquiera y c un escalar cualquiera el producto entre la matriz A y el escalar c da como resultado una nueva matriz llamada cA, la cual es la matriz que se obtiene al multiplicar cada elemento de la matriz A por el escalar c.

Un caso particular es el del producto entre el escalar,-1, y una matriz cualquiera A, (-1)A , el cual da como resultado una matriz representada por  -A donde -A es la matriz opuesta de la matriz A original.


Propiedades[editar]

 i) \  c(A + B) = cA + cB.\,


 ii) \ (a + b)C = aC + bC.\,


 iii) \  (ab)C = a(bC)=b(aC) .\,


 iv)  \  1A=A.\,


 v)  \  (-1)A=-A.\,


Formula General[editar]

La fórmula general para la operación de cA es:

Sea A una matriz cualquiera y c un escalar



A=\left[
\begin{array}{ccccc}
  a_{11} & a_{12} & . & .& a_{1n}\\
  a_{21} & a_{22} & . & .& a_{2n}\\
  a_{31} & a_{32} & . & .& a_{3n}\\
. & . & . & . & . \\
. & . & . & . & . \\
a_{m1} & a_{m2}  & .& .& a_{mn}\\
\end{array}
\right]
, c


El producto entre A y c, cA, da como resultado


cA=
\left[
\begin{array}{ccccc}
  ca_{11} & ca_{12} & . & .& ca_{1n}\\
  ca_{21} & ca_{22} & . & .& ca_{2n}\\
  ca_{31} & ca_{32} & . & .& ca_{3n}\\
. & . & . & . & . \\
. & . & . & . & . \\
ca_{m1} & ca_{m2}  & .& .& ca_{mn}\\
\end{array}
\right]

Donde el escalar, c, se multiplica por cada uno de los elementos de la matriz A

Ejemplos[editar]

Sean


  
A=\left[ 
\begin{array}{cc}
-5 & 6 \\ 
1 & 3
\end{array}
\right] ,  c = -1


El producto cA es igual a


  
cA=-1\left[ 
\begin{array}{cc}
-5 & 6 \\ 
1 & 3
\end{array}
\right]  
=\begin{bmatrix}
    -1\times-5 & -1\times6 \\
    -1\times1  & -1\times3
  \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
    5 & -6 \\
    -1 & -3
  \end{bmatrix}


La cual es la opuesta de A


Sean

A=\left[
\begin{array}{ccc}
\!-3 & \, 2 & \!-5 \\
\!-1 & \, 0 & \!-2 \\
\, 3 & \!-4 & \, 1
\end{array}
\right] , c=2


El producto entre c y A ,cA, es igual a



cA=2\left[
\begin{array}{ccc}
\!-4 & \, 5 & \!-5 \\
\!-5 & \, 0 & \!-5 \\
\, 3 & \!-10 & \, 0
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{ccc}
\ 2\times-3 & 2\times 2 & 2\times-5 \\
\ 2\times-1 & 2\times0  & 2\times-2 \\
\ 2\times3  &  2\times-4 & 2\times1
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{ccc}
\!-6 & \, 4 & \!-10 \\
\!-2 & \, 0 & \!-4 \\
\, 6 & \!-8 & \, 2
\end{array}
\right]

Referencias[editar]

George Nakos, David Joyner: Álgebra Lineal con Aplicaciones . Estados Unidos:Us Naval Academy, 1999. 666 p. ISBN 968-7529-86-5.


 responsable: Jesús David Ramos Rengifo 20082005074



--JesusDavidRamos 23:10 7 mar 2009 (UTC)jesus david ramos rengifo 20082005074