Álgebra/Teoría de grupos/Subgrupos

De Wikilibros, la colección de libros de texto de contenido libre.

[editar] Subgrupos

Definición 1.14: Sea G un grupo. Se dice que H es un subgrupo de G, hecho que se representa por , si y si H es él mismo un grupo respecto de la operación de G.

Es claro que la identidad de H es la misma que la identidad de G, pues éste es el único elemento a de G que cumple aa = a. También los inversos de los elementos de H son los mismos en H que en G.

Todo grupo G tiene al menos dos subgrupos, a saber, G mismo y el grupo {1}, llamado subgrupo trivial de G, que sólo contiene a la identidad de G. Cualquier otro subgrupo de G disitinto de G y {1} se dice subgupo propio de G.

Teorema 1.15: Sea G un grupo y con H no vacío. Entonces si y sólo si para cualesquiera g y h de H.

Demostración: La implicación es obvia. Si H es un subconjunto no vacío de G tal que para todo , entonces, en particular, (el elemento g existe, pues H es no vacío). Luego también . Además, puesto que , la operación binaria de G es también operación binaria en H, lo que demuestra que H es un subgrupo de G.

Si es un homomorfismo de grupos entonces kerf es un subgrupo de G. En efecto, pues si , entonces

por lo que , lo que, en vista del teorema anterior, demuestra que .

He aquí otros dos hechos, aún más básicos, a cerca de subgrupos:

1. Si y , entonces .
2. Si y , entoces .

Las pruebas de estos hechos se dejan como ejercicio al lector.

Un subgrupo propio M de un grupo G se dice subgrupo maximal de G si implica H = G o H = M para cualquiera que sea el conjunto H.