Álgebra/Teoría de grupos/Homomorfismos

De Wikilibros, la colección de libros de texto de contenido libre.

[editar] Homomorfismos

Definición 1.10: Sean G y H dos grupos. Una aplicación se llama homomorfismo de grupos (o simplemente homomorfismo) si

para todo a de G.

Es claro que si y son homomorfismos entonces es un homomorfismo.

Teorema 1.11: Sean G y H dos grupos y un homomorfismo. Se cumple que

1. si 1_G y 1_H son las identidades de G y H, respectivamente, entonces f(1_G) = 1_H;
2. si entonces f(a ^{− 1}) = f(a) ^{− 1}.

Demostración: En efecto, pues , lo que implica f(1_G) = 1_H. Además, f(a ^{− 1})f(a) = f(a ^{− 1}a) = f(1_G) = 1_H, luego f(a ^{− 1}) = f(a) ^{− 1}.

Se dice que un homomorfismo es un monomorfismo, un epimorfismo o un isomorfismo si es, respectivamente, inyectivo, sobreyectivo o biyectivo. Un homomorfismo de un grupo G en sí mismo se dice un endomorfismo, mientras que un isomorfismo de un grupo G en sí mismo se dice un automorfismo.

Dos grupos G y H se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos, hecho que representaremos por . Dos grupos que son isomorfos son, desde el punto de vista algebraico, indistinguibles, pues lo que vale para G respecto de su operación de grupo vale también para H respecto de su operación de grupo, y viceversa. Así, aunque desde el punto de vista conjuntista G y H sean dos conjuntos diferentes, desde el punto de vista algebraico G y H son el mismo objeto.

Sea G un grupo. Denotaremos por al conjunto de todos los automorfismos del grupo G. Puede probarse que AutG es a su vez un grupo tomando como operación la composición de aplicaciones.

Definición 1.12: Sean G y H dos grupos y sea f un homomorfismo entre ellos. El núcleo de f se define como el conjunto

donde 1_H es la identidad de H.

Teorema 1.13: Sean G y H dos grupos cualesquiera. La aplicación es monomorfismo si y sólo si es homomorfismo y .

Demostración: Si es un monomorfismo, entonces sólo puede existir un elemento a de G tal que f(a) = 1_H, y por el teorema 1.11, ese elemento es 1_G, de modo que kerf = {1_G}. Recíprocamente, si kerf = {1_G} y f(a) = f(b), entonces 1_H = f(a)f(b) ^{− 1} = f(a)f(b ^{− 1}) = f(ab ^{− 1}), lo que implica , luego ab ^{− 1} = 1_G y así a = b, por lo que f es inyectiva y con ello un monomorfismo.

El teorema anterior resulta útil para probar que dos grupos son isomorfos, ya que para esto basta con mostrar que existe un epimorfismo f entre ellos cuyo núcleo es trivial (en cuyo caso f es también un monomorfismo y por tanto un isomorfismo).